Foydaning omilli tahlili har bir omilning umumiy moliyaviy natijaga ta'sirini alohida baholash imkonini beradi. Buni qanday qilishni o'qing, shuningdek, metodologiyani yuklab oling.

Faktorli tahlilning mohiyati

Faktor usulining mohiyati har bir omilning yaxlit natijaga ta'sirini alohida aniqlashdan iborat. Buni qilish juda qiyin, chunki omillar bir-biriga ta'sir qiladi va agar omil miqdoriy bo'lmasa (masalan, xizmat), uning og'irligi mutaxassislar tomonidan baholanadi, bu esa butun tahlilda sub'ektivlik izini qoldiradi. Bundan tashqari, natijaga ta'sir qiluvchi omillar juda ko'p bo'lsa, ma'lumotlarni maxsus matematik modellashtirish dasturlarisiz qayta ishlash va hisoblash mumkin emas.

Korxonaning eng muhim moliyaviy ko'rsatkichlaridan biri bu foydadir. Faktor tahlilining bir qismi sifatida marjinal foydani tahlil qilish yaxshiroqdir, bunda doimiy xarajatlar yoki sotishdan olingan foyda yo'q.

Excel modelidan foydalanib, o'zgarishlar sabablarini bilib oling

Tayyor modelni Excelda yuklab oling. Bu sizga sotish hajmi, narx va savdo tuzilmasi daromadga qanday ta'sir qilganini aniqlashga yordam beradi.

Zanjirli almashtirish usuli bilan omil tahlili

Omilli tahlilda iqtisodchilar odatda zanjirli almashtirish usulidan foydalanadilar, lekin bu usul matematik jihatdan noto‘g‘ri bo‘lib, qaysi o‘zgaruvchilar birinchi bo‘lib qaysi o‘zgaruvchilardan keyin almashtirilishiga qarab sezilarli darajada o‘zgarib turadigan o‘ta egri natijalar beradi (masalan, 1-jadvalda).

1-jadval. Sotilgan mahsulotning narxi va miqdoriga qarab daromadlarni tahlil qilish

	Asosiy yil			Bu yil			Daromadning o'sishi
			Daromad B 0			Daromad B 0	Sababli narxlar pda	Miqdori tufayli q da
Variant 1							P 1 Q 0 -P 0 Q 0	P 1 Q 1 -P 1 Q 0	B 1 -B 0
Variant 2							P 1 Q 1 -P 0 Q 1	P 0 Q 1 -P 0 Q 0	B 1 -B 0

Birinchi variantda narx tufayli daromad 500 rublga, ikkinchisida esa 600 rublga oshdi; miqdori bo'yicha daromad birinchisida 300 rublga, ikkinchisida esa atigi 200 rublga oshdi. Shunday qilib, natijalar almashtirish tartibiga qarab sezilarli darajada farq qiladi. .

Yakuniy natijaga ta'sir qiluvchi omillarni belgilash (Nat) va sotuvlar soniga (Kol) qarab to'g'ri taqsimlash mumkin (1-rasmga qarang).

1-rasm

Belgilangan qiymatlar hisobiga foyda o'sishi formulasi: P nat = ∆ Nat * (hisob (joriy) + miqdor (baza)) / 2

Miqdor bo'yicha foyda o'sishi formulasi: P soni = ∆ Miqdor * (Nat (joriy) + Nat (baza)) / 2

Ikki faktorli tahlilga misol

Keling, 2-jadvaldagi misolni ko'rib chiqaylik.

jadval 2. Ikki faktorli daromad tahliliga misol

	Asosiy yil			Bu yil			Daromadning o'sishi
			Daromad B 0			Daromad B 0	Belgilash tufayli pda	miqdorlar q da
							∆ P(Q 1 +Q 0)/2	∆Q(P 1 +P 0)/2	B 1 -B 0
Mahsulot "A"

Natijalar zanjirlarni almashtirish variantlari orasidagi o'rtacha qiymatlar (1-jadvalga qarang).

Foydani tahlil qilish uchun uch faktorli model

Uch faktorli model ikki faktorli modelga qaraganda ancha murakkab (2-rasm).

2-rasm

3 omilli modeldagi har bir omilning (masalan, belgilash, miqdor, nomenklatura) umumiy natijaga ta'sirini aniqlaydigan formula ikki faktorli modeldagi formulaga o'xshash, ammo murakkabroq.

P nat = ∆Nat * ((Kol (tek) * Nom (tek) + Kol (asos) * Nom (tayanch)) / 2 - ∆Kol * ∆Nom / 6)

P soni = ∆Kol * ((Nat (tek) * Nom (tek) + Nat (asos) * Nom (tayanch)) / 2 - ∆Nat * ∆Nom / 6)

P nom = ∆Nom * ((Nat (tek) * Kol (tek) + Nat (tayanch) * Kol (tayanch)) / 2 - ∆Nat * ∆Kol / 6)

Tahlil misoli

Jadvalda biz uch faktorli modeldan foydalanishga misol keltirdik.

3-jadval. Uch faktorli model yordamida daromadni hisoblash misoli

	O'tgan yili				Bu yil				Daromad omillari
											Nomenklatura
									∆ Q((N 1 P 1 + N 0 P 0) / 2 - - ∆ N ∆ P/6)	∆ P((N 1 Q 1 + N 0 Q 0) / 2 - - ∆ N ∆ Q/6)	∆ N ((Q 1 P 1 + Q 0 P 0) / 2 - - ∆ Q ∆ P/6)

Faktor usuli yordamida daromadlarni tahlil qilish natijalarini ko'rib chiqsangiz, daromadning eng katta o'sishi narxlarning oshishi hisobiga sodir bo'ldi. Narxlar (15/10 - 1) * 100% = 50% ga oshdi, keyingi eng muhimi mahsulot assortimentining 3 dan 4 donagacha o'sishi - o'sish sur'ati (4/3 - 1) * 100% = 33% va ichida oxirgi o'rin "miqdori", bu faqat (120/100-1)*100% = 20% ga oshdi. Shunday qilib, omillar foydaga o'sish sur'atiga mutanosib ravishda ta'sir qiladi.

To'rt faktorli model

Afsuski, Pr = Kol av * Nom * (Narx - Ceb) ko'rinishidagi funktsiya uchun har bir alohida omilning indikatorga ta'sirini hisoblash uchun oddiy formulalar mavjud emas.

Pr - foyda;

Kol av – buyum birligi uchun o‘rtacha miqdor;

Nom - nomenklatura ob'ektlari soni;

Narxi - narx;

.

Differensial va integral hisoblardan foydalangan holda Lagranjning chekli o'sish teoremasiga asoslangan hisoblash usuli mavjud, ammo u shunchalik murakkab va ko'p vaqt talab qiladiki, uni real hayotda amalda qo'llash mumkin emas.

Shuning uchun har bir alohida omilni ajratib olish uchun avval odatdagi ikki faktorli model yordamida umumiyroq omillar hisoblab chiqiladi, keyin esa ularning tarkibiy qismlari xuddi shu tarzda hisoblanadi.

Umumiy foyda formulasi: Pr = Miqdor * Nat (Nat - ishlab chiqarish birligi bo'yicha baho). Shunga ko'ra, biz ikkita omilning ta'sirini aniqlaymiz: miqdor va belgi. O'z navbatida, sotilgan mahsulot miqdori buyumga va mahsulot birligiga o'rtacha sotish soniga bog'liq.

Biz Kol = Kol avg * Nom olamiz. Va belgilash narx va narxga bog'liq, ya'ni. Nat = Narxi – Seb. O'z navbatida, tannarxning foydaning o'zgarishiga ta'siri sotilgan mahsulot miqdori va tannarxning o'zgarishiga bog'liq.

Shunday qilib, foydaning o'zgarishiga 4 ta omilning ta'sirini alohida aniqlashimiz kerak: Miqdor, Narx, Seb, Nom, 4 ta tenglama yordamida:

1. Pr = Col * Nat
2. Kol = Kol o'rtacha * Nom
3. Narxi = Miqdor * Seb.
4. Vyr = Miqdor * Narx

To'rt faktorli model yordamida tahlil qilish misoli

Keling, buni bir misol bilan ko'rib chiqaylik. Jadvaldagi dastlabki ma'lumotlar va hisob-kitoblar

4-jadval. 4 omilli model yordamida foyda tahliliga misol

O'tgan yili
		Col (chor) Q (oʻrtacha 0)				Foyda P 0
						Q 0 *(P 0 -C 0)
			∑Q 0 P 0 / ∑Q 0	∑Q 0 P 0 / ∑Q 0
Bu yil
		Col (chor) Q (oʻrtacha 1)
						Q 1 *(P 1 -C 1)
Jami va o'rtacha og'irlikdagi
			∑Q 1 P 1 /∑Q 1	∑Q 1 P 1 /∑Q 1
Faktorning foydaning o'zgarishiga ta'siri
Nom N∆	Raqam Q ∆	Col (chor) Q (oʻrtacha)∆	Narxlar P∆		Nat N ∆
∆N * (Q (oʻrtacha 0) +Q (oʻrtacha 1)) / 2 * (H 1 + H 0) / 2	∆Q*(H 1 + H 0) / 2	∆Q (o'rtacha) * (N 1 + N 0) / 2 * (H 1 + H 0) / 2	∆P * (Q 1 + Q 0) / 2	∆C * (Q 1 + Q 0) / 2	∆H * (Q 1 +Q 0)/2
Jami va o'rtacha og'irlikdagi

Eslatma: Excel jadvalidagi raqamlar matn tavsifidagi ma'lumotlardan bir necha birlik bilan farq qilishi mumkin, chunki jadvalda ular o'ndan birgacha yaxlitlanadi.

1. Birinchidan, ikki faktorli modeldan (eng boshida tasvirlangan) foydalanib, biz foydaning o'zgarishini miqdoriy omil va belgilash omiliga ajratamiz. Bu birinchi darajali omillar.

Pr = Col * Nat

Ustun ∆ = ∆Q * (H 1 + H 0) / 2 = (220 - 180) * (3,9 + 4,7) / 2 = 172

Nat ∆ = ∆H * (Q 1 + Q 0) / 2 = (4,7 - 3,9) * (220 + 180) / 2 = 168

Tekshiring: ∆R = Col ∆ + Nat ∆ = 172+168 = 340

2. Biz xarajatlar parametriga bog'liqlikni hisoblaymiz. Buning uchun biz bir xil formuladan foydalanib, xarajatlarni miqdor va narxga ajratamiz, lekin minus belgisi bilan, chunki xarajat foydani kamaytiradi.

Narx = Hisob * Seb

Seb∆ = - ∆S*(Q1+Q0) / 2 = -(7,2 - 6,4) * (180 + 220) / 2 = -147

3. Biz narxga bog'liqlikni hisoblaymiz. Buning uchun biz daromadni bir xil formuladan foydalanib miqdor va narxga ajratamiz.

Exp = Miqdor * Narx

Narx∆ = ∆P * (Q1 + Q0) / 2 = (11,9 - 10,3) * (220 + 180) / 2 = 315

Tekshiring: Nat∆ = Narx∆ - Seb∆ = 315 - 147 = 168

4. Mahsulotning foydaga ta'sirini hisoblaymiz. Buning uchun biz sotilgan mahsulot miqdorini assortimentdagi birliklar soniga va mahsulot assortimentining bir birligiga o'rtacha miqdorga ajratamiz. Shunday qilib, miqdor omili va nomenklaturaning fizik jihatdan nisbatini aniqlaymiz. Shundan so'ng, biz olingan ma'lumotlarni o'rtacha yillik belgiga ko'paytiramiz va uni rublga aylantiramiz.

Miqdor = Nom * Miqdor (o'rtacha)

Nom ∆ = ∆N * (Q (o'rtacha 0) + Q (o'rtacha 1)) / 2 * (H 1 + H 0) / 2 = (3 - 2) (73 + 90) / 2 * (4,7 + 3,9) = 352

Col (avg) = ∆Q (o'rtacha) *(N 1 + N 0) / 2 * (H 1 + H 0) / 2 = (73 - 90) * (2 + 3) / 2 * (4,7 + 3,9) = -180

Tekshiring: Miqdor ∆ = Nom ∆ + Miqdor (o'rtacha) = 352-180 = 172

Yuqoridagi to'rt omilli tahlil shuni ko'rsatdiki, foyda o'tgan yilga nisbatan oshgan:

• narx 315 ming rublga oshadi;
• nomenklaturadagi o'zgarishlar 352 ming rubl.

Va quyidagi sabablarga ko'ra kamaydi:

• xarajatlarni 147 ming rublga oshirish;
• sotishning 180 ming rublga pasayishi.

Bu paradoksga o'xshab ko'rinadi: bu yil sotilgan birliklarning umumiy soni o'tgan yilga nisbatan 40 donaga oshdi, biroq ayni paytda miqdor omili salbiy natijani ko'rsatadi. Buning sababi, mahsulot birliklarining ko'payishi hisobiga sotishning o'sishi sodir bo'ldi. Agar o'tgan yili ulardan atigi 2 tasi bo'lgan bo'lsa, bu yil yana bittasi qo'shildi. Shu bilan birga, miqdor bo'yicha «B» mahsuloti hisobot yilida 20 dona sotilgan. oldingisidan kamroq.

Bu shuni ko'rsatadiki, yangi yilda taqdim etilgan "S" mahsuloti "B" mahsulotini qisman almashtirgan, ammo "B" mahsuloti mavjud bo'lmagan yangi xaridorlarni jalb qilgan. Agar kelgusi yilda "B" mahsuloti o'z pozitsiyasini yo'qotishda davom etsa, u assortimentdan olib tashlanishi mumkin.

Narxlarga kelsak, ularning (11,9/10,3 – 1)*100% = 15,5% ga oshishi umuman savdoga katta ta’sir ko‘rsatmadi. Assortimentdagi tarkibiy o'zgarishlarga ta'sir qilmagan "A" mahsulotiga qaraganda, narx 33% ga oshganiga qaramay, uning sotuvi 20% ga oshdi. Bu shuni anglatadiki, narx oshishi kompaniya uchun muhim emas.

Narxlar haqida hamma narsa aniq: u oshdi va foyda kamaydi.

Savdo foydasining omilli tahlili

Evgeniy Shagin, "RusCherMet" boshqaruv kompaniyasining moliyaviy direktori

Faktor tahlilini o'tkazish uchun sizga quyidagilar kerak:

• tahlil qilish uchun asosni tanlash - sotishdan tushgan daromad, foyda;
• ta'sirini baholash kerak bo'lgan omillarni tanlang. Tanlangan tahlil bazasiga qarab, ular quyidagilar bo'lishi mumkin: sotish hajmi, tannarxi, operatsion xarajatlar, operatsion bo'lmagan daromadlar, kreditlar bo'yicha foizlar, soliqlar;
• har bir omilning yakuniy ko'rsatkichga ta'sirini baholang. O'tgan davr uchun asosiy hisob-kitobda tanlangan omil qiymatini hisobot davridan boshlab almashtiring va yakuniy ko'rsatkichni ushbu o'zgarishlarni hisobga olgan holda to'g'rilang;
• omil ta’sirini aniqlang. Hisoblangan ko'rsatkichning oraliq qiymatidan oldingi davr uchun uning haqiqiy qiymatini ayiring. Agar raqam ijobiy bo'lsa, omilning o'zgarishi ijobiy ta'sir ko'rsatdi, agar raqam salbiy bo'lsa, salbiy ta'sir ko'rsatadi.

Savdo foydasining omil tahliliga misol

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. "Alpha" kompaniyasining o'tgan davrdagi moliyaviy natijalari to'g'risidagi hisobotida biz joriy davr uchun sotish hajmini (488,473,087 rubl o'rniga 571,513,512 rubl) almashtiramiz, qolgan barcha ko'rsatkichlar o'zgarishsiz qoladi (5-jadvalga qarang). Natijada sof foyda 83 040 425 rublga oshdi. (116 049 828 rubl - 33 009 403 rubl). Bu shuni anglatadiki, agar oldingi davrda kompaniya ushbu davrdagidek mahsulot sotishga muvaffaq bo'lgan bo'lsa, uning sof foydasi aynan shu 83 040 425 rublga oshgan bo'lar edi.

5-jadval. Sotish hajmi bo'yicha foydaning omilli tahlili

Indeks	Oldingi davr, rub.
		almashtirish bilan qiymatlar omildan joriy davr
Sotish hajmi
Yalpi daromad
Operatsion xarajatlar
Operatsion foyda
Kredit bo'yicha foizlar
Soliqdan oldingi foyda
Sof foyda
1 Joriy davr uchun savdo hajmi. 2 Ko'rsatkich sotish hajmini moslashtirishni hisobga olgan holda qayta hisoblab chiqilgan.

Shunga o'xshash sxemadan foydalanib, siz har bir omilning ta'sirini baholashingiz va sof foydani qayta hisoblashingiz va yakuniy natijalarni bitta jadvalda umumlashtirishingiz mumkin (6-jadvalga qarang).

6-jadval. Faktorlarning foydaga ta'siri, rub.

Sotish hajmi
Sotilgan mahsulotlar, xizmatlar tannarxi
Operatsion xarajatlar
Faoliyatdan tashqari daromadlar/xarajatlar
Kredit bo'yicha foizlar
Jami	32 244 671

6-jadvaldan ko'rinib turibdiki, tahlil qilingan davrda eng katta ta'sir savdolarning o'sishi (83 040 425 rubl) bo'lgan. Barcha omillar ta'sirining yig'indisi o'tgan davrdagi foydaning haqiqiy o'zgarishiga to'g'ri keladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, tahlil natijalari to'g'ri.

Xulosa

Xulosa qilib aytganda, men tushunmoqchiman: omil tahlilida foydani nima bilan solishtirish kerak? O'tgan yil bilan, asosiy yil bilan, raqobatchilar bilan, reja bilanmi? Korxona bu yil yaxshi ishlagan yoki yo'qligini qanday tushunish mumkin? Misol uchun, kompaniya joriy yildagi daromadini ikki baravar oshirdi, bu ajoyib natijaga o'xshaydi! Ammo bu vaqtda raqobatchilar korxonani texnik qayta jihozlash ishlarini olib borishdi va kelgusi yildan boshlab omadlilarni bozordan haydab chiqarishadi. Va agar raqobatchilar bilan solishtirilsa, ularning daromadi pastroq, chunki... Aytaylik, reklama yoki assortimentni kengaytirish o'rniga ular modernizatsiyaga pul sarflashdi. Shunday qilib, hamma narsa korxonaning maqsadlari va rejalariga bog'liq. Bundan kelib chiqadiki, haqiqiy foyda, birinchi navbatda, rejalashtirilgan foyda bilan taqqoslanishi kerak.

Bozorda juda qattiq raqobat sharoitida faoliyat yuritayotgan har qanday tijorat korxonasi mavjud ichki resurslarni samarali boshqarishi va o'zgaruvchan tashqi sharoitlarga o'z vaqtida javob berishi shart. Ushbu maqsadlar nashrda muhokama qilinadigan tegishli tahliliy tadbirlar orqali amalga oshiriladi.

Foydaning omilli tahlili

Tahlilchining diqqat markazida bo'lgan narsa korxona foydasidir, chunki u kompaniyaning samaradorligini, uning likvidligini va to'lov qobiliyatini aks ettiradi. Foyda tashqi muhitdagi va kompaniya ichidagi har qanday o'zgarishlarga javob beradigan ko'rsatkich sifatida ishlaydi, shuning uchun barcha mezonlarning ta'sir darajasini to'g'ri baholagan holda ushbu ko'rsatkichni tahlil qila olish muhimdir.

Kompaniyaning sof foydasini omilli tahlil qilish ikkita ta'sir qiluvchi blokni ko'rib chiqadi: tashqi va ichki.

Korxona ta'sir qila oladigan omillar ichki hisoblanadi. Masalan, firma foydaga ta'sir ko'rsatishi mumkin, chunki quvvatlardan foydalanish va qo'llaniladigan texnologiya darajasi mahsulot sifatiga ta'sir qiladi. Noishlab chiqarish omillari bilan, masalan, xodimlarning mehnat sharoitlari o'zgarishiga munosabati, logistika va boshqalar bilan qiyinroq.

Tashqi omillar deganda kompaniya nazorat qila olmaydigan, lekin hisobga oladigan bozor voqeliklarining omillari tushuniladi. Masalan, bozor sharoitlariga, inflyatsiya darajasiga, resurslardan uzoqlashishga, iqlim sharoitiga, davlat tariflarining o'zgarishiga, sheriklar tomonidan kelishuvlarning buzilishiga va hokazolarga ta'sir qilish mumkin emas.

Sof foydaning omilli tahlili kompaniyaning moliyaviy faoliyatini tahlil qilishning tarkibiy qismidir. Turli ko'rsatkichlarning natijaga ta'sir qilish darajasini aniqlash uchun ishlatiladi. Masalan, ular o'rganadilar:

• daromadlarning o'zgarishlar dinamikasi;
• sotish hajmini oshirish;
• sotish dinamikasi, narx va tannarxning o'zgarishi foydasiga ta'siri.

Ikki aniq davr natijalarini taqqoslash orqali ko'rsatkichlarni tahlil qiling. Tahlil foydaga ta'sir qiluvchi omillarni guruhlashdan boshlanadi. Sof foyda tannarx, soliqlar, sotish, ma'muriy va boshqa xarajatlar bilan kamaytirilgan daromad sifatida aniqlanadi.

Faktorli tahlil foyda miqdoriga ta'sir etuvchi har bir omilning o'zgarishini o'rganishga asoslanadi, ya'ni ko'rib chiqilayotgan davrda sof foydaning o'zgarishini tahlil qilish uning barcha tarkibiy qiymatlaridagi o'zgarishlarni solishtirish orqali amalga oshiriladi.

Sof foydaning omilli tahlili: hisoblash misoli

Keling, jadvaldagi ma'lumotlar asosida sanab o'tilgan omillarni tahlil qilishning barcha bosqichlarini batafsil ko'rib chiqaylik:

Ma'nosi	Sotish hajmi (t.r.) boshiga		Mutlaq og'ish
	o'tgan yili	hisobot yili	(gr 3 - gr2)	100 x ((gr 3 / gr2)) – 100
Narx narxi

Keling, sof foydaning omilli tahlilini o'tkazamiz. Bizning misolimiz soddalashtirilgan va hisob-kitobga asoslangan (jadvaldagi formulalar yordamida):

• o'tgan yilga nisbatan hisobot davridagi daromadlar va xarajatlar ma'lumotlaridagi og'ishlarning mutlaq qiymatlari;
• ko'rsatkichlarning % ga oshishi.

Xulosa: hisobot yilida kompaniyaning sof foydasi o'tgan yilga nisbatan 1000 ming rublga oshdi. Salbiy omil ishlab chiqarish tannarxining o'sishi bo'lib, o'tgan yilga nisbatan 11,2 foizni tashkil etdi. Xarajatlarning oshishiga e'tibor qaratish va hodisaning sabablarini aniqlash kerak, chunki uning o'sishi foydaning o'sishidan sezilarli darajada oshadi.

Vazifani soddalashtirib, ko'rsatkichlarni tahlil qilib, biz tannarxni batafsilroq o'rganish kerakligini aniqladik, chunki bizning misolimizda u bir nechta ko'rsatkichlardan iborat va hisoblash barcha xarajatlar guruhlari bo'yicha amalga oshirilishi kerak: ishlab chiqarish, tijorat va ma'muriy. Dastlabki ma'lumotlar blokini kengaytirib, biz savdo foydasining omilli tahliliga o'tamiz va asosiy o'zgaruvchan mezonlarni aniqlaymiz.

Savdo foydasining omilli tahlili: hisoblash misoli

Ma'nosi	Sotish hajmi (t.r.) boshiga		Mutlaq og'ish
	o'tgan yili	hisobot yili	(g 3 - gr 2)	100 x ((gr 3 / gr 2)) – 100
Narx narxi
Biznes xarajatlari
Boshqaruv xarajatlari
Sotishdan tushgan daromad
Narxlar o'zgarishi indeksi
Taqqoslanadigan narxlarda sotish hajmi

Keling, ta'sirni aniqlaylik:

1. Savdo hajmi o'zgarishiga ko'ra foydaga ko'paytiriladi:
   • 73 451 tr. (83 000 / 1,13)
   • o'zgarishlarni hisobga olgan holda haqiqiy savdo hajmi 88,5% (73 451 / 83 000 x 100) ni tashkil etdi, ya'ni sotish hajmi 11,5% ga (100 - 88,5) kamaydi.
   • shu sababli, savdo foydasi aslida 1,495 ming rublga kamaydi. (13 000 x (-0,115) = -1495).
2. Mahsulot assortimenti:
   • 47,790 ming rubl asosiy qiymati bo'yicha hisoblangan haqiqiy sotish. (54 000 x 0,885);
   • hisobot yili uchun foyda, bazaviy xarajatlar va narxlarda hisoblangan (AUR va sotish xarajatlari) 16,661 ming rubl. (73 451 – 47 790 – 4000 – 5000). Bular. assortiment tarkibining o'zgarishi foydaning 5156 ming rublga o'zgarishiga olib keldi. (16 661 – (13 000 x 0,885). Demak, yuqori rentabellikka ega mahsulotlar ulushi oshgan.
3. Bazis bo'yicha xarajatlar:
   • (54 000 x 0,885) - 60 000 = - 12 210 ming rubl. – tannarx oshdi, ya’ni sotishdan tushgan foyda bir xil miqdorda kamaydi.
4. AUR va tijorat xarajatlari, ularning mutlaq qiymatlarini solishtirish:
   • tijorat xarajatlari 6000 ming rublga oshdi. (10 000 - 4000), ya'ni foyda kamaydi;
   • AURni 1000 ming rublga kamaytirish orqali. (4000 – 5000) foyda oshdi.
5. Sotish narxlari, sotish hajmini bazaviy va hisobot narxlarida solishtirish:
   • 83 000 - 73 451 = 9 459 ming rubl.
   • Keling, barcha omillarning ta'sirini hisoblaylik:
   • 1495 + 5156 - 12 210 - 6000 + 1000 + 9459 = - 4090 ming rubl.

Xulosa: Narxlarning sezilarli o'sishi xom ashyo narxlari va tariflarning o'sishi fonida sodir bo'ldi. Savdo hajmining pasayishi salbiy ta'sir ko'rsatdi, garchi kompaniya yuqori rentabellikga ega bo'lgan bir qator mahsulotlarni chiqarish orqali o'z assortimentini yangiladi. Bundan tashqari, biznes xarajatlari sezilarli darajada oshdi. Korxona foydasining o‘sish zahiralariga sotish hajmini oshirish, foydali mahsulotlar ishlab chiqarish, ishlab chiqarish xarajatlari va biznes xarajatlarini kamaytirish kiradi.

Korxonalarning barcha iqtisodiy jarayonlari o'zaro bog'liq va o'zaro bog'liqdir. Ulardan ba'zilari bir-biri bilan bevosita bog'liq, ba'zilari bilvosita namoyon bo'ladi. Shunday qilib, iqtisodiy tahlilning muhim masalasi omilning muayyan iqtisodiy ko'rsatkichga ta'sirini baholash bo'lib, buning uchun omil tahlilidan foydalaniladi.

Korxonaning omilli tahlili. Ta'rif. Maqsadlar. Turlari

Omilli tahlil ilmiy adabiyotlarda ko'p o'zgaruvchan statistik tahlil bo'limiga tegishli bo'lib, bu erda kuzatilgan o'zgaruvchilarni baholash kovariatsiya yoki korrelyatsiya matritsalari yordamida amalga oshiriladi.

Faktor tahlili birinchi marta psixometriyada qo'llanilgan va hozirda psixologiyadan tortib neyrofiziologiya va siyosatshunoslikgacha deyarli barcha fanlarda qo'llaniladi. Faktorli tahlilning asosiy tushunchalari ingliz psixologi Galton tomonidan ta'riflangan va keyinchalik Spearman, Thurstone va Cattell tomonidan ishlab chiqilgan.

Siz tanlashingiz mumkin Faktor tahlilining 2 maqsadi:
– o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanishni aniqlash (klassifikatsiya).
– o‘zgaruvchilar sonini kamaytirish (klasterlash).

Korxonaning omilli tahlili– samaradorlik ko‘rsatkichi qiymatiga omillarning ta’sirini tizimli ravishda o‘rganish va baholashning kompleks metodologiyasi.

Quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin omilli tahlil turlari:

1. Funktsional, bu erda samarali ko'rsatkich mahsulot yoki omillarning algebraik yig'indisi sifatida aniqlanadi.
2. Korrelyatsiya (stokastik) - samaradorlik ko'rsatkichi va omillar o'rtasidagi bog'liqlik ehtimollikdir.
3. To'g'ridan-to'g'ri / teskari - umumiydan xususiyga va aksincha.
4. Bir bosqichli / ko'p bosqichli.
5. Retrospektiv / istiqbolli.

Keling, birinchi ikkitasini batafsil ko'rib chiqaylik.

Amalga oshirish imkoniyatiga ega bo'lish uchun omil tahlili zarur:
- Barcha omillar miqdoriy bo'lishi kerak.
– Faktorlar soni samaradorlik ko‘rsatkichlaridan 2 barobar ko‘p.
- Bir hil namuna.
– omillarning normal taqsimlanishi.

Faktor tahlili bir necha bosqichda amalga oshiriladi:
1-bosqich. Faktorlar tanlanadi.
2-bosqich. Omillar tasniflanadi va tizimlashtiriladi.
3-bosqich. Samaradorlik ko'rsatkichi va omillar o'rtasidagi bog'liqlik modellashtirilgan.
4-bosqich. Har bir omilning samaradorlik ko'rsatkichiga ta'sirini baholash.
5-bosqich. Modeldan amaliy foydalanish.

Deterministik omillarni tahlil qilish usullari va stokastik omillarni tahlil qilish usullari farqlanadi.

Deterministik omil tahlili- samaradorlik ko'rsatkichiga funktsional ta'sir ko'rsatadigan omillarni o'rganish. Deterministik omilli tahlil usullari - mutlaq farqlar usuli, logarifm usuli, nisbiy farqlar usuli. Ushbu turdagi tahlil foydalanish qulayligi tufayli eng keng tarqalgan bo'lib, ishlash ko'rsatkichini oshirish / kamaytirish uchun o'zgartirilishi kerak bo'lgan omillarni tushunishga imkon beradi.

Stokastik omillar tahlili- omillarning ishlash ko'rsatkichiga ehtimollik bilan ta'sir qiladigan tadqiqot, ya'ni. omil o'zgarganda, natijada paydo bo'lgan ko'rsatkichning bir nechta qiymati (yoki diapazoni) bo'lishi mumkin. Stokastik omillar tahlili usullari - o'yin nazariyasi, matematik dasturlash, ko'p korrelyatsiya tahlili, matritsali modellar.

Inson o'z qobiliyatlarini faqat amalda qo'llash orqali tan oladi. (Seneka)

Dispersiyani tahlil qilish

Kirish ko'rinishi

Ushbu bo'limda biz ANOVA ning asosiy usullari, taxminlari va terminologiyasini ko'rib chiqamiz.

E'tibor bering, ingliz tilidagi adabiyotlarda dispersiyani tahlil qilish odatda variatsiya tahlili deb ataladi. Shuning uchun, qisqalik uchun quyida biz ba'zan atamani ishlatamiz ANOVA (An tahlil qilish o f va riatsion) oddiy ANOVA va atama uchun MANOVA dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish uchun. Ushbu bo'limda biz dispersiya tahlilining asosiy g'oyalarini ketma-ket ko'rib chiqamiz ( ANOVA), kovariatsiyani tahlil qilish ( ANCOVA), ko'p o'zgaruvchanlik tahlili ( MANOVA) va kovariatsiyaning ko'p o'lchovli tahlili ( MANKOVA). Kontrastli tahlil va post hoc testlarning afzalliklarini qisqacha muhokama qilgandan so'ng, keling, ANOVA usullari asoslangan taxminlarni ko'rib chiqaylik. Ushbu bo'limning oxiriga kelib, takroriy o'lchovlarni tahlil qilish uchun ko'p o'lchovli yondashuvning an'anaviy bir o'zgaruvchan yondashuvga nisbatan afzalliklari tushuntiriladi.

Asosiy fikrlar

Dispersiya tahlilining maqsadi. Dispersiyani tahlil qilishning asosiy maqsadi vositalar orasidagi farqlarning ahamiyatini tekshirishdan iborat. Bob (8-bob) statistik ahamiyatlilikni o'rganishga qisqacha kirish ma'lumotlarini beradi. Agar siz ikkita namunadagi o'rtacha qiymatlarni taqqoslasangiz, dispersiyani tahlil qilish oddiy tahlil bilan bir xil natijani beradi. t- mustaqil namunalar uchun test (agar ob'ektlarning ikkita mustaqil guruhi yoki kuzatishlar solishtirilsa) yoki t- qaram namunalar uchun mezon (agar ikkita o'zgaruvchi bir xil ob'ektlar yoki kuzatishlar to'plamida taqqoslansa). Agar siz ushbu mezonlar bilan tanish bo'lmasangiz, kirish bo'limining umumiy ko'rinishiga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz. (9-bob).

Ism qaerdan paydo bo'lgan Dispersiyani tahlil qilish? Ko'rsatkichlarni taqqoslash tartibi dispersiya tahlili deb nomlanishi g'alati tuyulishi mumkin. Aslida, buning sababi shundaki, biz vositalar orasidagi farqlarning statistik ahamiyatini tekshirganda, biz aslida dispersiyalarni tahlil qilamiz.

Kvadratlar yig'indisini bo'lish

Namuna o‘lchami n uchun tanlama dispersiyasi tanlamaning o‘rtacha qiymatidan kvadrat og‘ishlar yig‘indisi n-1 ga bo‘lingan (namuna hajmi minus bir) sifatida hisoblanadi. Shunday qilib, qat'iy tanlanma o'lchami n uchun dispersiya qisqalik uchun belgilangan kvadratlar (og'ishlar) yig'indisining funktsiyasidir, SS(inglizcha Sum of Squares - Sum of Squares dan). Dispersiyani tahlil qilishning asosi dispersiyani qismlarga ajratish (yoki bo'lish). Quyidagi ma'lumotlar to'plamini ko'rib chiqing:

Ikki guruhning vositalari sezilarli darajada farq qiladi (mos ravishda 2 va 6). Kvadrat og'ishlar yig'indisi ichida Har bir guruh 2 ga teng. Ularni qo'shib, biz 4 ga erishamiz. Agar hozir bu hisoblarni takrorlasak bundan mustasno guruhga a'zolik, ya'ni hisoblasak SS Ikkala namunaning umumiy o'rtacha qiymatiga asoslanib, biz 28 ni olamiz. Boshqacha qilib aytganda, guruh ichidagi o'zgaruvchanlikka asoslangan dispersiya (kvadratlar yig'indisi) umumiy o'zgaruvchanlik asosida hisoblanganga qaraganda ancha kichikroq qiymatlarga olib keladi (nisbatan). umumiy o'rtacha). Buning sababi, shubhasiz, vositalar o'rtasidagi sezilarli farqdir va vositalar orasidagi bu farq kvadratlar yig'indisi orasidagi mavjud farqni tushuntiradi. Aslida, agar siz berilgan ma'lumotlarni tahlil qilish uchun moduldan foydalansangiz Dispersiyani tahlil qilish, quyidagi natijalarga erishiladi:

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, kvadratlarning umumiy yig'indisi SS=28 tomonidan berilgan kvadratlar yig'indisiga bo'linadi guruh ichidagi o'zgaruvchanlik ( 2+2=4 ; jadvalning ikkinchi qatoriga qarang) va o'rtacha qiymatlardagi farq tufayli kvadratlar yig'indisi. (28-(2+2)=24; jadvalning birinchi qatoriga qarang).

SS xatolar vaSS ta'sir. Guruh ichidagi o'zgaruvchanlik ( SS) odatda dispersiya deb ataladi xatolar. Bu shuni anglatadiki, tajriba o'tkazilganda uni odatda oldindan aytib bo'lmaydi yoki tushuntirib bo'lmaydi. Boshqa tomondan, SS ta'sir(yoki guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik) o'rganilayotgan guruhlar o'rtasidagi farqlar bilan izohlanishi mumkin. Boshqacha aytganda, ma'lum bir guruhga tegishli tushuntiradi guruhlararo o'zgaruvchanlik, chunki bu guruhlar turli xil vositalarga ega ekanligini bilamiz.

Muhimligini tekshirish. Statistik ahamiyatlilik testining asosiy g'oyalari bobda muhokama qilinadi Statistikaning asosiy tushunchalari(8-bob). Ushbu bobda, shuningdek, ko'plab testlarda tushuntirilgan va tushunarsiz dispersiya nisbati qo'llanilishi sabablari ham tushuntiriladi. Bunday foydalanishga misol sifatida dispersiyaning o'zini tahlil qilish mumkin. ANOVA-da ahamiyatlilik testi guruhlar orasidagi tafovut (deb ataladi) tufayli yuzaga kelgan tafovutni solishtirishga asoslangan. o'rtacha kvadrat effekt yoki XONIMEffekt) va guruh ichidagi o'zgarishlardan kelib chiqadigan dispersiya (deb ataladi o'rtacha kvadrat xato yoki XONIMxato). Agar nol gipoteza (ikki populyatsiyadagi vositalar tengligi) to'g'ri bo'lsa, unda tasodifiy o'zgarishlar tufayli tanlanma o'rtachalarda nisbatan kam farq kutiladi. Shu sababli, nol gipotezaga ko'ra, guruh ichidagi dispersiya amalda guruh a'zoligini hisobga olmagan holda hisoblangan umumiy dispersiyaga to'g'ri keladi. Olingan guruh ichidagi tafovutlar yordamida solishtirish mumkin F- dispersiya nisbati 1 dan sezilarli darajada katta ekanligini tekshiradigan test. Yuqorida muhokama qilingan misolda F- mezon shuni ko'rsatadiki, o'rtacha ko'rsatkichlar orasidagi farq statistik ahamiyatga ega.

Dispersiyani tahlil qilishning asosiy mantiqi. Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, ANOVA ning maqsadi o'rtacha (guruhlar yoki o'zgaruvchilar uchun) o'rtasidagi farqning statistik ahamiyatini tekshirishdir. Ushbu tekshirish dispersiya tahlili yordamida amalga oshiriladi, ya'ni. umumiy dispersiyani (variatsiyani) qismlarga bo'lish orqali, ulardan biri tasodifiy xatolik (ya'ni, guruh ichidagi o'zgaruvchanlik), ikkinchisi esa o'rtacha qiymatlardagi farqlar bilan bog'liq. Oxirgi dispersiya komponenti so'ngra o'rtachalar orasidagi farqning statistik ahamiyatini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Agar bu farq muhim bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi va vositalar o'rtasida farq borligi haqidagi muqobil gipoteza qabul qilinadi.

Bog'liq va mustaqil o'zgaruvchilar. Qiymatlari eksperiment davomida o'lchovlar bilan aniqlanadigan o'zgaruvchilar (masalan, test balli) deyiladi qaram o'zgaruvchilar. Eksperimentda nazorat qilinishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchilar (masalan, o'qitish usullari yoki kuzatishlarni guruhlarga bo'lishning boshqa mezonlari) deyiladi. omillar yoki mustaqil o'zgaruvchilar. Ushbu tushunchalar bobda batafsil tavsiflangan Statistikaning asosiy tushunchalari(8-bob).

Dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili

Yuqoridagi oddiy misolda siz mos modul variantidan foydalanib, mustaqil namunalar t-testini darhol hisoblashingiz mumkin Asosiy statistika va jadvallar. Olingan natijalar dispersiyani tahlil qilish natijalari bilan tabiiy ravishda mos keladi. Biroq, ANOVA ancha murakkab tadqiqotlar uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan moslashuvchan va kuchli usullarni o'z ichiga oladi.

Ko'p omillar. Dunyo tabiatan murakkab va ko'p qirrali. Muayyan hodisani bitta o'zgaruvchi tomonidan to'liq tavsiflangan holatlar juda kam uchraydi. Misol uchun, agar biz katta pomidorlarni qanday etishtirishni o'rganishga harakat qilsak, o'simlikning genetik tuzilishi, tuproq turi, yorug'lik, harorat va boshqalar bilan bog'liq omillarni hisobga olishimiz kerak. Shunday qilib, odatiy eksperiment o'tkazishda ko'p sonli omillar bilan shug'ullanish kerak. ANOVA dan foydalanishning asosiy sababi, turli omillar darajasidagi ikkita namunani takroriy taqqoslashdan afzalroqdir t- mezon - dispersiyani tahlil qilish ko'proq samarali va kichik namunalar uchun ko'proq ma'lumot beradi.

Faktorlarni boshqarish. Aytaylik, yuqorida muhokama qilingan ikkita namunali tahlil misolida biz yana bir omilni qo'shamiz, masalan. Qavat- Jins. Har bir guruh 3 erkak va 3 ayoldan iborat bo'lsin. Ushbu tajribaning dizayni 2 dan 2 gacha bo'lgan jadval shaklida taqdim etilishi mumkin:

	Tajriba. 1-guruh	Tajriba. 2-guruh
Erkaklar	2	6
	3	7
	1	5
O'rtacha	2	6
Ayollar	4	8
	5	9
	3	7
O'rtacha	4	8

Hisob-kitoblarni amalga oshirishdan oldin, ushbu misolda umumiy dispersiya kamida uchta manbaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin:

(1) tasodifiy xato (guruh variatsiyasi ichida),

(2) eksperimental guruh a'zoligi bilan bog'liq o'zgaruvchanlik va

(3) kuzatish ob'ektlarining jinsiga qarab o'zgaruvchanlik.

(E'tibor bering, o'zgaruvchanlikning yana bir manbasi mavjud - omillarning o'zaro ta'siri, bu haqda keyinroq muhokama qilamiz). Agar biz kiritmasak nima bo'ladi qavat –jins tahlil qilishda omil sifatida va odatdagidek hisoblash t- mezon? Agar biz e'tibor bermasdan, kvadratchalar yig'indisini hisoblasak qavat -jins(ya'ni, guruh ichidagi dispersiyani hisoblashda turli jinsdagi ob'ektlarni bir guruhga birlashtirish va shu bilan har bir guruh uchun teng kvadratlar yig'indisini olish SS=10, va kvadratlarning umumiy yig'indisi SS= 10+10 = 20), keyin biz kichik guruhlarga qo'shimcha bo'linish bilan aniqroq tahlil qilishdan ko'ra, biz guruh ichidagi dispersiyaning katta qiymatini olamiz. yarim jins(bu holda, guruh ichidagi o'rtacha 2 ga teng bo'ladi va guruh ichidagi kvadratlarning umumiy yig'indisi teng bo'ladi. SS = 2+2+2+2 = 8). Bu farq o'rtacha qiymatga bog'liq erkaklar - erkaklar uchun o'rtacha ko'rsatkichdan kamroq ayollar -ayol, va vositalardagi bu farq jinsi hisobga olinmaganda umumiy guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni oshiradi. Xato farqini nazorat qilish testning sezgirligini (kuchini) oshiradi.

Ushbu misol an'anaviy bilan solishtirganda dispersiya tahlilining yana bir afzalligini ko'rsatadi t- ikkita namuna uchun mezon. Dispersiyani tahlil qilish qolgan omillarning qiymatlarini nazorat qilish orqali har bir omilni o'rganishga imkon beradi. Bu, aslida, uning katta statistik kuchining asosiy sababidir (mazmunli natijalarga erishish uchun kichikroq namunalar talab qilinadi). Shu sababli, dispersiyani tahlil qilish, hatto kichik namunalarda ham, oddiydan ko'ra statistik jihatdan muhimroq natijalar beradi t- mezon.

Oʻzaro taʼsirlar

An'anaviy bilan solishtirganda dispersiya tahlilidan foydalanishning yana bir afzalligi bor t- mezon: dispersiyani tahlil qilish bizga aniqlash imkonini beradi o'zaro ta'sir omillar o'rtasida va shuning uchun yanada murakkab modellarni o'rganish imkonini beradi. Tasavvur qilish uchun yana bir misolni ko'rib chiqing.

Asosiy effektlar, juftlik (ikki faktorli) o'zaro ta'sirlar. Faraz qilaylik, ikki guruh o‘quvchilari bor va psixologik jihatdan birinchi guruh o‘quvchilari berilgan topshiriqlarni bajarishga qat’iy va dangasa o‘quvchilardan tashkil topgan ikkinchi guruh talabalariga nisbatan ko‘proq maqsadliroqdirlar. Keling, har bir guruhni tasodifiy ikkiga bo'lib, har bir guruhning yarmiga qiyin, ikkinchi yarmiga oson topshiriq beramiz. Shundan so'ng biz o'quvchilarning ushbu topshiriqlarni bajarishda qanchalik mehnat qilishlarini o'lchaymiz. Ushbu (hayoliy) tadqiqot uchun o'rtacha ko'rsatkichlar jadvalda keltirilgan:

Ushbu natijalardan qanday xulosa chiqarish mumkin? Xulosa qilish mumkinmi: (1) o'quvchilar murakkab topshiriq ustida yanada qizg'in ishlaydi; (2) Motivlangan talabalar dangasa talabalarga qaraganda ko'proq ishlaydimi? Ushbu bayonotlarning hech biri jadvalda ko'rsatilgan vositalarning tizimli tabiatining mohiyatini aks ettirmaydi. Natijalarni tahlil qilar ekanmiz, faqat rag‘batlantirilgan o‘quvchilar qiyin topshiriqlar ustida ko‘proq ishlaydilar, dangasa o‘quvchilar esa oson topshiriqlar ustida ko‘proq ishlaydilar, desak to‘g‘riroq bo‘ladi. Boshqacha aytganda, o'quvchilarning xarakteri va topshiriqning qiyinligi o'zaro ta'sir qilish sarflangan sa'y-harakatlarga bir-biriga ta'sir qiladi. Bu bir misol juftlik o'zaro ta'siri o'quvchilarning xarakteri va vazifaning qiyinligi o'rtasida. E'tibor bering, 1 va 2 bayonotlar tavsiflaydi asosiy effektlar.

Yuqori darajadagi o'zaro ta'sirlar. Juftlik o'zaro ta'sirlarni tushuntirish hali nisbatan oson bo'lsa-da, yuqori tartibli o'zaro ta'sirlarni tushuntirish ancha qiyin. Tasavvur qilaylik, yuqorida ko'rib chiqilgan misolda yana bir omil kiritilgan qavat -Jins va biz quyidagi o'rtacha jadvalni oldik:

Endi olingan natijalardan qanday xulosalar chiqarish mumkin? O'rtacha syujetlar murakkab effektlarni izohlashni osonlashtiradi. ANOVA moduli sichqonchani deyarli bir marta bosish bilan ushbu grafiklarni yaratishga imkon beradi.

Quyidagi grafiklardagi rasm o'rganilayotgan uch faktorli o'zaro ta'sirni ifodalaydi.

Grafiklarga nazar tashlaydigan bo'lsak, ayollar uchun shaxsiyat va test qiyinchiliklari o'rtasida o'zaro bog'liqlik borligini aytishimiz mumkin: motivatsiyalangan ayollar oson ishdan ko'ra qiyin ishda ko'proq ishlaydi. Erkaklar uchun bir xil shovqin teskari bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sirning tavsifi yanada chalkash bo'ladi.

O'zaro ta'sirlarni tavsiflashning umumiy usuli. Umuman olganda, omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sir bir ta'sirning boshqa ta'siri ostida o'zgarishi sifatida tavsiflanadi. Yuqorida ko'rib chiqilgan misolda ikki omilli o'zaro ta'sirni talabaning xarakterini tavsiflovchi omil ta'siri ostida vazifaning qiyinligini tavsiflovchi omilning asosiy ta'sirining o'zgarishi sifatida tavsiflash mumkin. Oldingi paragrafdagi uchta omilning o'zaro ta'siri uchun shuni aytishimiz mumkinki, ikkita omilning o'zaro ta'siri (topshiriqning murakkabligi va talabaning xarakteri) ta'sir ostida o'zgaradi. jins – Jins. To'rt omilning o'zaro ta'siri o'rganilsa, uchta omilning o'zaro ta'siri to'rtinchi omil ta'sirida o'zgaradi, ya'ni. To'rtinchi omilning turli darajalarida turli xil turdagi o'zaro ta'sirlar mavjud. Ma'lum bo'lishicha, ko'p sohalarda besh yoki undan ortiq omillarning o'zaro ta'siri odatiy hol emas.

Murakkab rejalar

Guruh o'rtasidagi va guruh ichidagi dizaynlar (takroriy o'lchovli dizaynlar)

Ikki xil guruhni solishtirganda, odatda, ishlatiladi t- mustaqil namunalar uchun mezon (moduldan Asosiy statistika va jadvallar). Ikki o'zgaruvchini bir xil ob'ektlar to'plami (kuzatishlar) bo'yicha taqqoslaganda, u ishlatiladi t-qaram namunalar uchun mezon. Dispersiyani tahlil qilish uchun namunalar bog'liqmi yoki yo'qligi ham muhimdir. Agar bir xil o'zgaruvchilarning takroriy o'lchovlari mavjud bo'lsa (turli sharoitlarda yoki turli vaqtlarda) bir xil ob'ektlar uchun, keyin ular mavjudligi haqida gapirishadi takroriy o'lchovlar omili(shuningdek deyiladi Guruh ichidagi omil, chunki uning ahamiyatini baholash uchun kvadratlarning guruh ichidagi yig'indisi hisoblanadi). Agar ob'ektlarning turli guruhlari (masalan, erkaklar va ayollar, bakteriyalarning uchta shtammi va boshqalar) taqqoslansa, u holda guruhlar orasidagi farq tavsiflanadi. guruhlararo omil. Ta'riflangan ikkita turdagi omillar uchun ahamiyatlilik mezonlarini hisoblash usullari har xil, ammo ularning umumiy mantig'i va talqinlari bir xil.

Guruhlararo va guruh ichidagi rejalar. Ko'pgina hollarda eksperiment loyihalashda sub'ektlar o'rtasidagi omilni ham, takroriy o'lchov omilini ham kiritishni talab qiladi. Masalan, ayol va erkak talabalarning matematika qobiliyatlari o'lchanadi (qaerda qavat -Jins-guruhlararo omil) semestr boshida va oxirida. Har bir talaba malakasining ikkita ko'rsatkichi guruh ichidagi omilni (takroriy o'lchov omilini) tashkil qiladi. Mavzular o'rtasidagi va takroriy o'lchov omillari uchun asosiy ta'sirlar va o'zaro ta'sirlarning talqini izchil va har ikkala turdagi omillar bir-biri bilan o'zaro ta'sir qilishi mumkin (masalan, ayollar semestr davomida ko'nikmalarga ega bo'ladilar, erkaklar esa ularni yo'qotadilar).

Tugallanmagan (ichiga joylashtirilgan) rejalar

Ko'p hollarda o'zaro ta'sirni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bu populyatsiyada o'zaro ta'sir yo'qligi ma'lum bo'lganda yoki to'liq amalga oshirilganda sodir bo'ladi faktorial rejasi mumkin emas. Masalan, to‘rtta yoqilg‘i qo‘shimchasining yoqilg‘i sarfiga ta’siri o‘rganilmoqda. To'rtta mashina va to'rtta haydovchi tanlangan. Toʻliq faktorial tajriba har bir kombinatsiyani talab qiladi: qo'shimcha, haydovchi, avtomobil - kamida bir marta paydo bo'ladi. Buning uchun kamida 4 x 4 x 4 = 64 test guruhi kerak bo'ladi, bu juda ko'p vaqt talab qiladi. Bundan tashqari, haydovchi va yonilg'i qo'shimchasi o'rtasida hech qanday o'zaro ta'sir bo'lishi ehtimoldan yiroq emas. Buni hisobga olib, siz rejadan foydalanishingiz mumkin Lotin kvadratlari, faqat 16 ta test guruhini o'z ichiga oladi (to'rtta qo'shimcha A, B, C va D harflari bilan belgilanadi):

Lotin kvadratlari eksperimental dizayn bo'yicha ko'pgina kitoblarda tasvirlangan (masalan, Hays, 1988; Lindman, 1974; Milliken va Jonson, 1984; Winer, 1962) va bu erda batafsil muhokama qilinmaydi. Lotin kvadratlari ekanligini unutmang Yo'qnto'la omillar darajasining barcha kombinatsiyalari kiritilmagan dizaynlar. Masalan, 1-haydovchi 1-mashinani faqat A qo‘shimchasi bilan boshqaradi, 3-haydovchi 1-mashinani faqat C qo‘shimchasi bilan boshqaradi. Faktor darajalari qo'shimchalar ( A, B, C va D) jadval kataklariga joylashtirilgan avtomobil x haydovchi - uyalardagi tuxum kabi. Ushbu mnemonika tabiatni tushunish uchun foydalidir uyali yoki uyali rejalar. Modul Dispersiyani tahlil qilish bu turdagi rejalarni tahlil qilishning oddiy usullarini taqdim etadi.

Kovariant tahlili

asosiy fikr; asosiy g'oya

Bobda Asosiy fikrlar Faktorlarni boshqarish g'oyasi va qo'shimcha omillarni kiritish kvadrat xatolar yig'indisini qanday kamaytirishi va dizaynning statistik kuchini oshirishi haqida qisqacha muhokama qilindi. Bularning barchasi doimiy qiymatlar to'plamiga ega bo'lgan o'zgaruvchilarga kengaytirilishi mumkin. Bunday uzluksiz o'zgaruvchilar dizaynga omillar sifatida kiritilganda, ular deyiladi kovariativlar.

Ruxsat etilgan kovariatsiyalar

Faraz qilaylik, biz ikki xil darslik yordamida o'qitilgan ikki guruh o'quvchilarining matematika ko'nikmalarini solishtiramiz. Bundan tashqari, har bir talaba uchun intellekt koeffitsienti (IQ) ma'lumotlari mavjud deb faraz qilaylik. Siz IQ matematik qobiliyatlar bilan bog'liq deb taxmin qilishingiz va bu ma'lumotlardan foydalanishingiz mumkin. Ikki guruh talabalarining har biri uchun IQ va matematika qobiliyatlari o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash mumkin. Ushbu korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanib, IQ ta'siri va dispersiyaning tushuntirib bo'lmaydigan nisbati bilan izohlanadigan guruhlardagi dispersiya ulushini ajratish mumkin (shuningdek qarang. Statistikaning asosiy tushunchalari(8-bob) va Asosiy statistika va jadvallar(9-bob)). Dispersiyaning qolgan qismi tahlilda xatolik dispersiyasi sifatida ishlatiladi. Agar IQ va matematika qobiliyatlari o'rtasida bog'liqlik mavjud bo'lsa, unda xato farqi sezilarli darajada kamayishi mumkin SS/(n-1) .

Kovariatsiyalarning ta'siriF- mezon. F- mezon guruhlardagi o'rtacha qiymatlardagi farqning statistik ahamiyatini baholaydi va guruhlararo dispersiya nisbati hisoblanadi ( XONIMta'sir) xato farqiga ( XONIMxato) . Agar XONIMxato kamayadi, masalan, IQ omilini hisobga olgan holda, qiymat F ortadi.

Ko'p kovariatlar. Yuqorida bitta kovariat (IQ) uchun ishlatilgan mulohazalarni bir nechta kovariativlarga osonlikcha kengaytirish mumkin. Masalan, IQ ga qo'shimcha ravishda siz motivatsiya, fazoviy fikrlash va boshqalarni o'lchashingiz mumkin. Odatdagi korrelyatsiya koeffitsienti o'rniga ko'p korrelyatsiya koeffitsienti qo'llaniladi.

Qachon qiymatF - mezonlar kamayadi. Ba'zan eksperimental dizaynga kovariatsiyalarni kiritish ahamiyatni kamaytiradi F- mezonlar . Bu, odatda, kovariatsiyalar nafaqat bog'liq o'zgaruvchi (masalan, matematika qobiliyatlari), balki omillar (masalan, turli xil darsliklar) bilan ham bog'liqligini ko'rsatadi. Faraz qilaylik, IQ semestr oxirida, ikki guruh talabalariga ikki xil darslikdan foydalangan holda deyarli bir yil dars berganidan so‘ng o‘lchanadi. Talabalar tasodifiy guruhlarga ajratilgan bo'lsa-da, darslikdagi farqlar shunchalik kattaki, IQ va matematika ko'nikmalari guruhlar orasida katta farq qilishi mumkin. Bunday holda, kovariatsiyalar nafaqat xato dispersiyasini, balki guruhlar orasidagi farqni ham kamaytiradi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, guruhlar o'rtasidagi IQdagi farqlarni nazorat qilgandan so'ng, matematika ko'nikmalaridagi farqlar endi ahamiyatli emas. Siz boshqacha aytishingiz mumkin. IQ ta'sirini "inkor qilgandan" so'ng, darslikning matematik ko'nikmalarni rivojlantirishga ta'siri beixtiyor chiqarib tashlanadi.

Tuzatilgan o'rtacha ko'rsatkichlar. Kovariat sub'ektlar orasidagi omilga ta'sir qilganda, hisoblash kerak sozlangan vositalar, ya'ni. barcha kovariativ baholar olib tashlanganidan keyin olingan vositalar.

Kovariatlar va omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sir. Omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sir o'rganilgandek, kovariatlar va omillar guruhlari o'rtasidagi o'zaro ta'sirlarni tekshirish mumkin. Aytaylik, darsliklardan biri ayniqsa zukko o‘quvchilarga mos keladi. Ikkinchi darslik aqlli o‘quvchilar uchun zerikarli, bir xil darslik esa aqli past o‘quvchilar uchun qiyin. Natijada, birinchi guruhda IQ va ta’lim natijalari o‘rtasida ijobiy bog‘liqlik (oqil o‘quvchilar, yaxshi natijalar) va ikkinchi guruhda nol yoki biroz salbiy korrelyatsiya (o‘quvchi qanchalik aqlli bo‘lsa, matematik ko‘nikmalarga ega bo‘lish ehtimoli shunchalik kam bo‘ladi) ikkinchi darslikdan). Ba'zi tadkikotlar bu holatni kovarians tahlilining taxminlarini buzish misoli sifatida muhokama qiladi. Biroq, ANOVA moduli kovariatsiyani tahlil qilishning eng keng tarqalgan usullaridan foydalanganligi sababli, xususan, omillar va kovariatlar o'rtasidagi o'zaro ta'sirning statistik ahamiyatini baholash mumkin.

O'zgaruvchan kovariatsiyalar

Ruxsat etilgan kovariatsiyalar darsliklarda tez-tez muhokama qilingan bo'lsa-da, o'zgaruvchan kovariatsiyalar kamroq eslatiladi. Odatda, takroriy o'lchovlar bilan tajribalar o'tkazishda bizni vaqtning turli nuqtalarida bir xil miqdorlarning o'lchovlaridagi farqlar qiziqtiradi. Ya'ni, biz bu farqlarning ahamiyati bilan qiziqamiz. Agar kovariatsiyalar bog'liq o'zgaruvchilarning o'lchovlari bilan bir vaqtda o'lchansa, kovariat va qaram o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiyani hisoblash mumkin.

Masalan, matematikaga qiziqish va matematika ko'nikmalari semestr boshida va oxirida o'rganilishi mumkin. Matematikaga qiziqishning o'zgarishi matematika ko'nikmalaridagi o'zgarishlar bilan bog'liqmi yoki yo'qligini tekshirish qiziq.

Modul Dispersiyani tahlil qilish V STATISTIKA iloji bo'lsa, dizayndagi kovariatsiyalardagi o'zgarishlarning statistik ahamiyatini avtomatik ravishda baholaydi.

Ko'p o'zgaruvchan dizaynlar: dispersiya va kovariatsiyaning ko'p o'lchovli tahlili

Guruhlararo rejalar

Oldin muhokama qilingan barcha misollar faqat bitta qaram o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Bir vaqtning o'zida bir nechta qaram o'zgaruvchilar mavjud bo'lganda, faqat hisob-kitoblarning murakkabligi oshadi, lekin mazmuni va asosiy tamoyillari o'zgarmaydi.

Masalan, tadqiqot ikki xil darslik bo'yicha olib boriladi. Shu bilan birga, o‘quvchilarning fizika-matematika fanlarini o‘rganishdagi muvaffaqiyatlari o‘rganiladi. Bunday holda, ikkita qaram o'zgaruvchi mavjud va siz ikkita turli darslik bir vaqtning o'zida ularga qanday ta'sir qilishini aniqlashingiz kerak. Buning uchun siz ko'p o'lchovli dispersiyadan (MANOVA) foydalanishingiz mumkin. Bir o'lchovli o'rniga F mezon, ko'p o'lchovli ishlatiladi F test (Uilks l testi), xato kovariatsiya matritsasi va guruhlararo kovariatsiya matritsasi taqqoslashga asoslangan.

Agar qaram o'zgaruvchilar bir-biri bilan korrelyatsiya qilingan bo'lsa, u holda muhimlik mezonini hisoblashda bu korrelyatsiyani hisobga olish kerak. Shubhasiz, agar bir xil o'lchov ikki marta takrorlansa, unda yangi hech narsa olinmaydi. Mavjud o'lchamga korrelyatsiya qilingan o'lchov qo'shilsa, ba'zi yangi ma'lumotlar olinadi, lekin yangi o'zgaruvchida ortiqcha ma'lumotlar mavjud bo'lib, u o'zgaruvchilar orasidagi kovariatsiyada aks etadi.

Natijalarni talqin qilish. Agar umumiy ko'p o'lchovli test muhim bo'lsa, tegishli ta'sir (masalan, darslik turi) muhim degan xulosaga kelishimiz mumkin. Biroq, quyidagi savollar tug'iladi. Darslik turi faqat matematika, faqat jismoniy mahorat yoki ikkala ko'nikmaning yaxshilanishiga ta'sir qiladimi? Aslida, muhim ko'p o'lchovli testni olgandan so'ng, individual asosiy ta'sir yoki o'zaro ta'sir uchun bir o'zgaruvchan test tekshiriladi. F mezon. Boshqacha qilib aytganda, ko'p o'lchovli testning ahamiyatiga hissa qo'shadigan qaram o'zgaruvchilar alohida tekshiriladi.

Takroriy chora-tadbirlar dizaynlari

Talabalarning matematika va fizika bilimlari semestr boshida va oxirida o’lchanadigan bo’lsa, bu takroriy o’lchovlardir. Bunday rejalarda ahamiyatlilik mezonini o'rganish bir o'lchovli ishning mantiqiy rivojlanishi hisoblanadi. E'tibor bering, dispersiya usullarini ko'p o'lchovli tahlil qilish, shuningdek, ikkitadan ortiq darajaga ega bo'lgan bir o'zgaruvchan takroriy o'lchov omillarining ahamiyatini tekshirish uchun ham qo'llaniladi. Tegishli ilovalar ushbu qismda keyinroq muhokama qilinadi.

O'zgaruvchan qiymatlarni yig'ish va dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish

Hatto bir o‘zgaruvchili va ko‘p o‘zgaruvchili dispersiya tahlilining tajribali foydalanuvchilari ham ko‘pincha, masalan, uchta o‘zgaruvchiga ko‘p o‘zgaruvchanlik tahlilini qo‘llashda va bu uch o‘zgaruvchining yig‘indisiga bir o‘zgaruvchanlik tahlilini qo‘llashda turli natijalarni olishda qiynaladilar. bitta o'zgaruvchi edi.

Fikr jamlash o'zgaruvchilar - har bir o'zgaruvchida o'rganilayotgan ba'zi haqiqiy o'zgaruvchilar, shuningdek tasodifiy o'lchash xatosi mavjud. Shuning uchun, o'zgaruvchilar qiymatlarini o'rtacha hisoblaganda, o'lchash xatosi barcha o'lchovlar uchun 0 ga yaqinroq bo'ladi va o'rtacha qiymatlar ishonchliroq bo'ladi. Aslida, bu holda, o'zgaruvchilar yig'indisiga ANOVA ni qo'llash oqilona va kuchli texnikadir. Biroq, agar qaram o'zgaruvchilar tabiatan ko'p o'lchovli bo'lsa, o'zgaruvchilar qiymatlarini yig'ish noo'rin.

Masalan, qaram o'zgaruvchilar to'rtta ko'rsatkichdan iborat bo'lsin jamiyatdagi muvaffaqiyat. Har bir ko'rsatkich inson faoliyatining mutlaqo mustaqil tomonini tavsiflaydi (masalan, kasbiy muvaffaqiyat, biznesdagi muvaffaqiyat, oilaviy farovonlik va boshqalar). Ushbu o'zgaruvchilarni qo'shish olma va apelsin qo'shishga o'xshaydi. Bu o'zgaruvchilar yig'indisi mos bir o'lchovli o'lchov bo'lmaydi. Shuning uchun bunday ma'lumotlar ko'p o'lchovli ko'rsatkichlar sifatida ko'rib chiqilishi kerak dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili.

Kontrastli tahlil va post hoc testlari

Nima uchun o'rtachalarning alohida to'plamlari solishtiriladi?

Odatda, eksperimental ma'lumotlar haqidagi farazlar oddiygina asosiy ta'sirlar yoki o'zaro ta'sirlar nuqtai nazaridan shakllantirilmaydi. Bunga misol qilib, bu gipotezani keltirish mumkin: ma'lum bir darslik faqat erkak o'quvchilarda matematika ko'nikmalarini yaxshilaydi, boshqa bir darslik har ikki jins uchun taxminan bir xil samarali, lekin erkaklar uchun hali ham unchalik samarali emas. Darslik samaradorligi o'quvchilarning jinsi bilan o'zaro bog'liqligini taxmin qilish mumkin. Biroq, bu prognoz ham amal qiladi tabiat o'zaro ta'sirlar. Bir kitobdan foydalangan talabalar uchun jinslar o'rtasidagi sezilarli farq va boshqa kitobdan foydalanadigan talabalar uchun jins bo'yicha deyarli mustaqil natijalar kutilmoqda. Ushbu turdagi gipoteza odatda kontrastli tahlil yordamida tekshiriladi.

Kontrastlarni tahlil qilish

Muxtasar qilib aytganda, kontrastli tahlil murakkab effektlarning muayyan chiziqli birikmalarining statistik ahamiyatini baholashga imkon beradi. Kontrastli tahlil har qanday murakkab ANOVA rejasining asosiy va majburiy elementidir. Modul Dispersiyani tahlil qilish har qanday turdagi taqqoslash vositalarini ajratish va tahlil qilish imkonini beruvchi juda xilma-xil kontrastli tahlil imkoniyatlariga ega.

Posteriori taqqoslashlar

Ba'zida tajribani qayta ishlash natijasida kutilmagan ta'sir aniqlanadi. Garchi ko'p hollarda ijodiy tadqiqotchi har qanday natijani tushuntirishga qodir bo'lsa-da, bu keyingi tahlil va bashorat qilish uchun baho berishga imkon bermaydi. Bu muammo ulardan biri hisoblanadi a posteriori mezonlari, ya'ni ishlatilmaydigan mezonlar a priori farazlar. Tasavvur qilish uchun quyidagi tajribani ko'rib chiqing. 1 dan 10 gacha raqamlarni o'z ichiga olgan 100 ta karta bor deb faraz qilaylik. Ushbu kartalarning barchasini sarlavhaga qo'yib, biz tasodifiy ravishda 20 marta 5 ta kartani tanlaymiz va har bir namuna uchun o'rtacha qiymatni (kartalarda yozilgan raqamlarning o'rtacha qiymatini) hisoblaymiz. Vositalari sezilarli darajada farq qiladigan ikkita namuna bo'lishini kutish mumkinmi? Bu juda ishonarli! Maksimal va minimal o'rtacha qiymatga ega bo'lgan ikkita namunani tanlab, siz, masalan, birinchi ikkita namunadagi farqdan juda farq qiladigan vositalardagi farqni olishingiz mumkin. Bu farqni, masalan, kontrastli tahlil yordamida o'rganish mumkin. Tafsilotlarga kirmasdan, bir nechta deb ataladigan narsalar mavjud a posteriori aynan birinchi stsenariyga asoslangan mezonlar (20 ta namunadan ekstremal vositalarni olish), ya'ni bu mezonlar dizayndagi barcha vositalarni solishtirish uchun eng xilma-xil vositalarni tanlashga asoslangan. Ushbu mezonlar sun'iy effekt tasodifan olinmasligini ta'minlash uchun, masalan, yo'q bo'lganda vositalar o'rtasidagi sezilarli farqni aniqlash uchun ishlatiladi. Modul Dispersiyani tahlil qilish kabi mezonlarning keng doirasini taklif etadi. Bir necha guruhlar ishtirokidagi tajribada kutilmagan natijalarga duch kelganda, keyin a posteriori olingan natijalarning statistik ahamiyatini tekshirish tartiblari.

I, II, III va IV turdagi kvadratlar yig'indisi

Ko'p o'lchovli regressiya va dispersiya tahlili

Ko'p o'lchovli regressiya usuli va dispersiya tahlili (dispersiya tahlili) o'rtasida yaqin bog'liqlik mavjud. Ikkala usulda ham chiziqli model o'rganiladi. Muxtasar qilib aytganda, deyarli barcha eksperimental dizaynlarni ko'p o'zgaruvchan regressiya yordamida tekshirish mumkin. Quyidagi oddiy guruhlararo 2 x 2 dizaynni ko'rib chiqing.

D.V.	A	B	AxB
3	1	1	1
4	1	1	1
4	1	-1	-1
5	1	-1	-1
6	-1	1	-1
6	-1	1	-1
3	-1	-1	1
2	-1	-1	1

A va B ustunlari A va B omillari darajasini tavsiflovchi kodlarni o'z ichiga oladi, AxB ustuni ikkita A va B ustunlarining mahsulotini o'z ichiga oladi. Biz bu ma'lumotlarni ko'p o'zgaruvchan regressiya yordamida tahlil qilishimiz mumkin. O'zgaruvchan D.V. bog'liq o'zgaruvchi sifatida belgilangan, o'zgaruvchilar dan A oldin AxB mustaqil o'zgaruvchilar sifatida. Regressiya koeffitsientlari uchun ahamiyatni o'rganish omillarning asosiy ta'sirining ahamiyati dispersiyasini tahlil qilishdagi hisob-kitoblarga to'g'ri keladi. A Va B va o'zaro ta'sir AxB.

Balanssiz va muvozanatli rejalar

Yuqorida tasvirlangan ma'lumotlar kabi barcha o'zgaruvchilar uchun korrelyatsiya matritsasini hisoblashda siz omillarning asosiy ta'sirini sezasiz. A Va B va o'zaro ta'sir AxB bog'liq bo'lmagan. Effektlarning bu xossasi ortogonallik deb ham ataladi. Ular ta'sirini aytishadi A Va B - ortogonal yoki mustaqil bir biridan. Agar rejadagi barcha effektlar yuqoridagi misoldagidek bir-biriga ortogonal bo'lsa, reja shunday deyiladi. muvozanatli.

Balanslangan rejalar "yaxshi xususiyatga" ega. Bunday rejalarni tahlil qilish uchun hisob-kitoblar juda oddiy. Barcha hisob-kitoblar ta'sirlar va qaram o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiyani hisoblash uchun qaynatiladi. Ta'sirlar ortogonal bo'lgani uchun, qisman korrelyatsiyalar (to'liq ko'p o'lchovli regressiyalar) hisoblanmaydi. Biroq, real hayotda rejalar har doim ham muvozanatli emas.

Keling, hujayralardagi kuzatuvlar soni teng bo'lmagan haqiqiy ma'lumotlarni ko'rib chiqaylik.

Faktor A	B omil
	B1	B2
A1	3	4, 5
A2	6, 6, 7	2

Agar biz ushbu ma'lumotlarni yuqoridagi kabi kodlasak va barcha o'zgaruvchilar uchun korrelyatsiya matritsasini hisoblasak, dizayn omillari bir-biri bilan bog'liqligini topamiz. Rejadagi omillar endi ortogonal emas va bunday rejalar deyiladi muvozanatsiz. E'tibor bering, ko'rib chiqilayotgan misolda omillar o'rtasidagi korrelyatsiya butunlay ma'lumotlar matritsasi ustunlaridagi 1 va -1 chastotalaridagi farq bilan bog'liq. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, teng bo'lmagan hujayra hajmlari (aniqrog'i, nomutanosib hajmlar) bo'lgan eksperimental dizaynlar muvozanatsiz bo'ladi, ya'ni asosiy effektlar va o'zaro ta'sirlar chalkash bo'ladi. Bunday holda, ta'sirlarning statistik ahamiyatini hisoblash uchun to'liq ko'p o'lchovli regressiyani hisoblash kerak. Bu erda bir nechta strategiyalar mavjud.

I, II, III va IV turdagi kvadratlar yig'indisi

Kvadratlar turi yig'indisiIVaIII. Ko'p o'zgaruvchan modeldagi har bir omilning ahamiyatini tekshirish uchun barcha boshqa omillar allaqachon modelda hisobga olingan bo'lsa, har bir omilning qisman korrelyatsiyasini hisoblash mumkin. Bundan tashqari, modelga kiritilgan omillarni bosqichma-bosqich kiritishingiz va boshqa barcha omillarni e'tiborsiz qoldirishingiz mumkin. Umuman olganda, bu o'rtasidagi farq turi III Va turiI kvadratlar yig'indisi (bu terminologiya SASda kiritilgan, masalan, SAS, 1982; batafsil muhokamani Searle, 1987, 461-betda ham topish mumkin; Vudvord, Bonett va Brecht, 1990, 216-bet; yoki Milliken va Jonson, 1984, 138-bet).

Kvadratlar turi yig'indisiII. Keyingi "oraliq" modelni shakllantirish strategiyasi quyidagilardan iborat: bitta asosiy effektning ahamiyatini tekshirishda barcha asosiy effektlarni nazorat qilish; individual juftlik o'zaro ta'sirining ahamiyatini tekshirishda barcha asosiy effektlarni va barcha juft o'zaro ta'sirlarni nazorat qilishda; barcha juft o'zaro ta'sirlarning barcha asosiy ta'sirini va uchta omilning barcha o'zaro ta'sirini nazorat qilishda; uchta omilning individual o'zaro ta'sirini o'rganishda va hokazo. Shu tarzda hisoblangan effektlar uchun kvadratlar yig'indisi deyiladi turiII kvadratlar yig'indisi. Shunday qilib, turiII Kvadratlar yig'indisi barcha yuqori tartibli effektlarni e'tiborsiz qoldirib, bir xil va undan past darajadagi barcha effektlarni boshqaradi.

Kvadratlar turi yig'indisiIV. Nihoyat, etishmayotgan hujayralar (to'liq bo'lmagan rejalar) bo'lgan ba'zi maxsus rejalar uchun, deb atalmish hisoblash mumkin. turi IV kvadratlar yig'indisi. Ushbu usul keyinroq to'liq bo'lmagan dizaynlar bilan bog'liq holda muhokama qilinadi (yo'qolgan hujayralar bilan dizaynlar).

I, II va III tipdagi kvadratlar yig'indisi gipotezasini talqin qilish

Kvadratlar yig'indisi turiIII talqin qilish eng oson. Eslatib o'tamiz, kvadratlarning yig'indisi turiIII boshqa barcha ta'sirlarni nazorat qilgandan keyin ta'sirlarni tekshiring. Misol uchun, statistik ahamiyatga ega bo'lgandan keyin turiIII omil uchun ta'sir A modulda Dispersiyani tahlil qilish, omilning yagona muhim ta'siri borligini aytishimiz mumkin A, barcha boshqa effektlarni (omillarni) kiritgandan so'ng va bu ta'sirni shunga mos ravishda sharhlang. Ehtimol, barcha ANOVA ilovalarining 99 foizida bu tadqiqotchini qiziqtiradigan test turidir. Ushbu turdagi kvadratlar yig'indisi odatda modulda hisoblanadi Dispersiyani tahlil qilish sukut bo'yicha, parametr tanlangan yoki yo'qligidan qat'iy nazar Regressiya yondashuvi yoki yo'q (modulda qabul qilingan standart yondashuvlar Dispersiyani tahlil qilish quyida muhokama qilinadi).

Kvadratchalar yig'indisi yordamida olingan muhim effektlar turi yoki turiII kvadratlar yig'indisini talqin qilish unchalik oson emas. Ular bosqichma-bosqich ko'p o'zgaruvchan regressiya kontekstida eng yaxshi talqin qilinadi. Agar, kvadratlar yig'indisidan foydalanganda turiI B omilining asosiy ta'siri sezilarli edi (modelga A omil kiritilgandan keyin, lekin A va B o'rtasidagi o'zaro ta'sir qo'shilishidan oldin), biz o'zaro ta'sir bo'lmasa, B omilining muhim asosiy ta'siri bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. A va B omillari o'rtasida. (Mezondan foydalanilganda turiIII, omil B ham muhim bo'lib chiqdi, keyin biz barcha boshqa omillarni va ularning o'zaro ta'sirini modelga kiritgandan so'ng, B omilining muhim asosiy ta'siri bor degan xulosaga kelishimiz mumkin).

Marjinal vositalar gipotezasi nuqtai nazaridan turiI Va turiII odatda oddiy talqinga ega emas. Bunday hollarda, ta'sirlarning ahamiyatini faqat marjinal vositalarga qarab izohlab bo'lmaydi, deyiladi. Aksincha taqdim etilgan p vositalar vositalar va namuna hajmini birlashtirgan murakkab gipoteza bilan bog'liq. Masalan, turiII Yuqorida muhokama qilingan 2 x 2 dizaynning oddiy misolida A omili uchun farazlar quyidagicha bo'ladi (qarang: Vudvord, Bonett va Brecht, 1990, 219-bet):

nij- hujayradagi kuzatuvlar soni

uij- hujayradagi o'rtacha qiymat

n. j- marjinal o'rtacha

Haddan tashqari tafsilotlarga berilmasdan (batafsilroq, Milliken va Jonson, 1984, 10-bobga qarang), bu oddiy farazlar emasligi va aksariyat hollarda ularning hech biri tadqiqotchini alohida qiziqtirmasligi aniq. Biroq, gipotezalar mavjud bo'lgan holatlar mavjud turiI qiziqarli bo'lishi mumkin.

Modulda standart hisoblash yondashuvi Dispersiyani tahlil qilish

Agar parametr belgilanmagan bo'lsa, standart Regressiya yondashuvi, modul Dispersiyani tahlil qilish foydalanadi o'rtacha hujayra modeli. Ushbu modelning o'ziga xos xususiyati shundaki, turli effektlar uchun kvadratlar yig'indisi hujayra vositalarining chiziqli birikmalari uchun hisoblanadi. To'liq faktorial tajribada bu avvalroq muhokama qilingan kvadratlar yig'indisi bilan bir xil bo'lgan kvadratlar yig'indisiga olib keladi. turi III. Biroq, variantda Rejalashtirilgan taqqoslashlar(oynada ANOVA natijalari), foydalanuvchi gipotezani vaznli yoki tortilmagan hujayra vositalarining har qanday chiziqli birikmasiga qarshi sinab ko'rishi mumkin. Shunday qilib, foydalanuvchi nafaqat farazlarni sinab ko'rishi mumkin turiIII, lekin har qanday turdagi gipotezalar (shu jumladan turiIV). Ushbu umumiy yondashuv, ayniqsa, etishmayotgan hujayralar (to'liq bo'lmagan dizaynlar deb ataladi) bo'lgan dizaynlarni tekshirishda foydalidir.

To'liq faktorial dizaynlar uchun bu yondashuv, shuningdek, vaznli marjinal vositalarni tahlil qilishni xohlasa ham foydalidir. Masalan, ilgari ko'rib chiqilgan oddiy 2 x 2 dizaynda biz og'irlikdagi (omil darajalari bo'yicha) solishtirishimiz kerak, deylik. B) A omili uchun marginal o'rtacha. Bu hujayralar bo'ylab kuzatuvlarni taqsimlash eksperimentator tomonidan tayyorlanmagan, lekin tasodifiy tuzilgan bo'lsa foydali bo'ladi va bu tasodifiylik kuzatuvlar sonining B omil darajalari bo'yicha taqsimlanishida aks etadi. agregat.

Masalan, bir omil bor - bevalar yoshi. Respondentlarning mumkin bo'lgan namunasi ikki guruhga bo'lingan: 40 yoshgacha va 40 dan katta (B omil). Rejadagi ikkinchi omil (A omili) bevalar ba'zi idoralardan ijtimoiy yordam olganmi yoki yo'qmi (ba'zi bevalar tasodifiy tanlangan, boshqalari nazorat sifatida xizmat qilgan). Bunday holda, namunadagi beva ayollarning yoshi bo'yicha taqsimlanishi aholi o'rtasida yoshi bo'yicha beva ayollarning haqiqiy taqsimlanishini aks ettiradi. Beva ayollarni ijtimoiy qo'llab-quvvatlash guruhining samaradorligini baholash barcha yoshdagilar ikki yosh guruhi uchun o'rtacha vaznga mos keladi (guruhdagi kuzatuvlar soniga mos keladigan og'irliklar bilan).

Rejalashtirilgan taqqoslashlar

E'tibor bering, kiritilgan kontrast koeffitsientlarining yig'indisi 0 (nol) ga teng bo'lishi shart emas. Buning o'rniga, dastur mos keladigan farazlar umumiy o'rtacha ko'rsatkich bilan chalkashmasligini ta'minlash uchun avtomatik ravishda tuzatishlar kiritadi.

Buni ko'rsatish uchun, keling, avval muhokama qilingan oddiy 2 x 2 rejasiga qaytaylik. Eslatib o'tamiz, ushbu muvozanatsiz dizaynning katakchalarida kuzatuvlar soni -1, 2, 3 va 1 ni tashkil qiladi. Faraz qilaylik, biz A omil uchun (B omil darajalarining chastotasi bo'yicha tortilgan) vaznli marjinal o'rtachalarni solishtirmoqchimiz. Kontrast koeffitsientlarini kiritishingiz mumkin:

E'tibor bering, bu koeffitsientlar 0 ga qo'shilmaydi. Dastur koeffitsientlarni 0 ga qo'shadigan tarzda o'rnatadi va ularning nisbiy qiymatlari saqlanib qoladi, ya'ni:

1/3 2/3 -3/4 -1/4

Ushbu qarama-qarshiliklar A omili uchun og'irlikdagi o'rtachalarni solishtiradi.

Asosiy o'rtacha haqida farazlar. Og'irlanmagan asosiy o'rtacha 0 ga teng bo'lgan gipotezani koeffitsientlar yordamida o'rganish mumkin:

O'rtacha og'irlikdagi asosiy 0 ga teng bo'lgan gipoteza sinovdan o'tkaziladi:

Hech qanday holatda dastur kontrast nisbatlarini sozlamaydi.

Yo'qolgan hujayralar bilan rejalarni tahlil qilish (to'liq bo'lmagan rejalar)

Bo'sh hujayralarni o'z ichiga olgan faktoriy dizaynlar (kuzatishlari bo'lmagan hujayralar birikmalarini qayta ishlash) to'liq emas deb ataladi. Bunday dizaynlarda ba'zi omillar odatda ortogonal emas va ba'zi o'zaro ta'sirlarni hisoblash mumkin emas. Umuman olganda, bunday rejalarni tahlil qilishning yaxshiroq usuli yo'q.

Regressiya yondashuvi

Ko'p o'zgaruvchan regressiya yordamida ANOVA dizaynlarini tahlil qilishga tayanadigan ba'zi eski dasturlarda to'liq bo'lmagan dizayndagi omillar odatdagidek sukut bo'yicha belgilanadi (go'yo dizayn tugallangandek). Ko'p o'lchovli regressiya tahlillari ushbu qo'g'irchoq kodli omillar bo'yicha amalga oshiriladi. Afsuski, bu usul talqin qilish juda qiyin, hatto imkonsiz bo'lgan natijalarni keltirib chiqaradi, chunki har bir ta'sir vositalarning chiziqli birikmasiga qanday hissa qo'shishi noma'lum. Quyidagi oddiy misolni ko'rib chiqing.

Faktor A	B omil
	B1	B2
A1	3	4, 5
A2	6, 6, 7	O'tkazib yuborilgan

Agar shaklning ko'p o'lchovli regressiyasini bajarsak Bog'liq o'zgaruvchi = doimiy + A omil + B omil, u holda vositalarning chiziqli birikmalari nuqtai nazaridan A va B omillarning ahamiyati haqidagi gipoteza quyidagicha ko'rinadi:

A omil: A1,B1 hujayra = A2,B1 hujayra

B omil: A1,B1 hujayra = A1,B2 hujayra

Bu holat oddiy. Keyinchalik murakkab dizaynlarda aniq nima tekshirilishini aniqlab bo'lmaydi.

Hujayra degani, ANOVA yondashuvi , IV-toifa gipotezalar

Adabiyotda tavsiya etilgan va afzal ko'rinadigan yondashuv mazmunli o'rganishdir (tadqiqot savollari nuqtai nazaridan) a priori reja hujayralarida kuzatilgan vositalar haqidagi farazlar. Ushbu yondashuvning batafsil muhokamasini Dodge (1985), Heiberger (1989), Milliken and Jonson (1984), Searle (1987) yoki Vudvord, Bonett va Brecht (1990) da topish mumkin. To'liq bo'lmagan dizayndagi vositalarning chiziqli kombinatsiyasi haqidagi farazlar bilan bog'liq kvadratlar yig'indisi, shuningdek, ta'sirlarning bir qismini baholashni o'rganadi, shuningdek, kvadratlar yig'indisi deb ataladi. IV.

Tip gipotezalarini avtomatik yaratishIV. Ko'p o'zgaruvchan dizaynlarda murakkab etishmayotgan hujayra naqshlari mavjud bo'lsa, tadqiqoti asosiy ta'sirlarni yoki o'zaro ta'sirlarni tekshirishga teng bo'lgan ortogonal (mustaqil) gipotezalarni aniqlash maqsadga muvofiqdir. Bunday taqqoslash uchun mos og'irliklarni yaratish uchun algoritmik (hisoblash) strategiyalar (psevdo-teskari dizayn matritsasi asosida) ishlab chiqilgan. Afsuski, yakuniy farazlar o'ziga xos tarzda aniqlanmagan. Albatta, ular ta'sirlarning aniqlangan tartibiga bog'liq va kamdan-kam hollarda oddiy talqin qilish imkonini beradi. Shuning uchun, etishmayotgan hujayralarning tabiatini diqqat bilan o'rganish, keyin farazlarni shakllantirish tavsiya etiladi turiIV, tadqiqot maqsadlariga eng mazmunli mos keladi. Keyin variantdan foydalanib, ushbu farazlarni o'rganing Rejalashtirilgan taqqoslashlar derazada natijalar. Bu holda taqqoslashni aniqlashning eng oson usuli barcha omillar uchun kontrast vektorini kiritishni talab qilishdir. birga derazada Rejalashtirilgan taqqoslashlar. Muloqot oynasiga qo'ng'iroq qilgandan so'ng Rejalashtirilgan taqqoslashlar Joriy rejadagi barcha guruhlar ko'rsatiladi va etishmayotganlar belgilanadi.

Yo'qolgan hujayralar va aniq ta'sir uchun sinov

Bir necha turdagi dizaynlar mavjud bo'lib, ularda etishmayotgan hujayralarning joylashuvi tasodifiy emas, balki boshqa effektlarga ta'sir qilmasdan asosiy effektlarni oddiy tahlil qilish imkonini beruvchi ehtiyotkorlik bilan rejalashtirilgan. Misol uchun, rejadagi hujayralarning kerakli soni mavjud bo'lmaganda, rejalar ko'pincha ishlatiladi Lotin kvadratlari ko'p darajali bir nechta omillarning asosiy ta'sirini baholash. Masalan, 4 x 4 x 4 x 4 faktorial dizayn uchun 256 hujayra kerak bo'ladi. Ayni paytda siz foydalanishingiz mumkin Yunon-lotin maydoni dizayndagi atigi 16 hujayra bilan asosiy effektlarni baholash uchun (bob Tajribani rejalashtirish, IV jildda bunday rejalarning batafsil tavsifi mavjud). Oddiy chiziqli birikmalar yordamida asosiy ta'sirlarni (va ba'zi o'zaro ta'sirlarni) baholash mumkin bo'lgan to'liq bo'lmagan dizaynlar deyiladi. muvozanatli to'liq bo'lmagan rejalar.

Balanslangan dizaynlarda, asosiy effektlar va o'zaro ta'sirlar uchun kontrastlarni (vaznlarni) yaratishning standart (standart) usuli keyinchalik tegishli effektlar uchun kvadratlar yig'indisi bir-biri bilan chalkashtirilmaydigan dispersiyalarni tahlil qilish jadvalini ishlab chiqaradi. Variant Maxsus effektlar oyna natijalar etishmayotgan reja hujayralariga nol yozish orqali etishmayotgan kontrastlarni hosil qiladi. Variant so'ralgandan so'ng darhol Maxsus effektlar ba'zi bir gipotezani tekshirayotgan foydalanuvchi uchun haqiqiy og'irliklar bilan natijalar jadvali paydo bo'ladi. E'tibor bering, muvozanatli dizaynda tegishli effektlarning kvadratlari yig'indisi faqat ushbu effektlar boshqa barcha asosiy effektlar va o'zaro ta'sirlarga ortogonal (mustaqil) bo'lsa hisoblanadi. Aks holda, siz variantni ishlatishingiz kerak Rejalashtirilgan taqqoslashlar vositalar o'rtasidagi mazmunli taqqoslashni o'rganish.

Yo'qolgan hujayralar va birlashtirilgan effektlar/xato shartlari

Agar variant Regressiya yondashuvi modulni ishga tushirish panelida Dispersiyani tahlil qilish tanlanmagan bo'lsa, effektlar uchun kvadratlar yig'indisini hisoblashda hujayra o'rtacha modelidan foydalaniladi (standart sozlama). Agar dizayn muvozanatli bo'lmasa, ortogonal bo'lmagan effektlarni birlashtirganda (yuqoridagi variantni muhokamasiga qarang). O'tkazib yuborilgan hujayralar va o'ziga xos ta'sir) ortogonal bo'lmagan (yoki bir-biriga yopishgan) komponentlardan tashkil topgan kvadratlar yig'indisini olish mumkin. Olingan natijalar odatda izohlanmaydi. Shuning uchun murakkab to'liq bo'lmagan eksperimental dizaynlarni tanlash va amalga oshirishda juda ehtiyot bo'lish kerak.

Har xil turdagi rejalar haqida batafsil muhokama qilingan ko'plab kitoblar mavjud. (Dodge, 1985; Heiberger, 1989; Lindman, 1974; Milliken va Jonson, 1984; Searle, 1987; Vudvord va Bonett, 1990), ammo bu turdagi ma'lumotlar ushbu darslik doirasidan tashqarida. Biroq, har xil turdagi rejalarning tahlili keyinchalik ushbu bo'limda ko'rsatiladi.

Taxminlar va taxminlarni buzish oqibatlari

Oddiy taqsimotlar taxminidan chetga chiqish

Faraz qilaylik, qaram o'zgaruvchi raqamli shkalada o'lchandi. Shuningdek, qaram o'zgaruvchi har bir guruh ichida normal taqsimlangan deb faraz qilaylik. Dispersiyani tahlil qilish Ushbu taxminni tasdiqlash uchun keng diapazonli grafikalar va statistik ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.

Buzilish oqibatlari. Umuman F test normallikdan chetga chiqishga juda chidamli (batafsil natijalar uchun Lindman, 1974 ga qarang). Agar kurtoz 0 dan katta bo'lsa, u holda statistik qiymat F juda kichik bo'lishi mumkin. Nol gipoteza qabul qilinadi, garchi u to'g'ri bo'lmasa ham. Kurtoz 0 dan kichik bo'lsa, vaziyat teskari bo'ladi. Tarqatishning egriligi odatda kam ta'sir qiladi. F statistika. Agar hujayradagi kuzatuvlar soni etarlicha katta bo'lsa, u holda normallikdan og'ish ayniqsa muhim emas. markaziy chegara teoremasi, unga ko'ra, o'rtacha qiymatning taqsimlanishi dastlabki taqsimotdan qat'i nazar, normalga yaqin. Barqarorlikni batafsil muhokama qilish F statistik ma'lumotlarni Box and Anderson (1955) yoki Lindman (1974) da topish mumkin.

Dispersiyaning bir xilligi

Taxminlar. Turli dizayn guruhlari farqlari bir xil deb taxmin qilinadi. Bu taxmin faraz deyiladi dispersiyaning bir xilligi. Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limning boshida kvadrat xatolar yig'indisini hisoblashni tavsiflashda biz har bir guruh ichida yig'indini amalga oshirdik. Agar ikkita guruhdagi dispersiya bir-biridan farq qiladigan bo'lsa, ularni qo'shish juda tabiiy emas va umumiy guruh ichidagi dispersiyani baholashni ta'minlamaydi (chunki bu holda umuman umumiy dispersiya yo'q). Modul Dispersiyani tahlil qilish -ANOVA/MANOVA dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminlardan og'ishlarni aniqlash uchun katta statistik mezonlarni o'z ichiga oladi.

Buzilish oqibatlari. Lindman (1974, 33-bet) shuni ko'rsatadi F mezon dispersiyaning bir xilligi haqidagi taxminlarning buzilishiga nisbatan ancha barqaror ( heterojenlik dispersiya, shuningdek qarang: Box, 1954a, 1954b; Xsu, 1938).

Maxsus holat: vositalar va dispersiyalarning korrelyatsiyasi. Vaqtlar bor F statistika mumkin adashtirish. Bu dizayn hujayralarining vositalari dispersiya bilan bog'liq bo'lganda sodir bo'ladi. Modul Dispersiyani tahlil qilish bunday korrelyatsiyani aniqlash uchun dispersiya yoki o'rtacha qiymatga nisbatan standart og'ishning tarqalish grafiklarini tuzishga imkon beradi. Bu korrelyatsiyaning xavfli bo'lishining sababi quyidagilardir. Tasavvur qilaylik, rejada 8 ta hujayra mavjud bo'lib, ulardan 7 tasi deyarli bir xil o'rtacha ko'rsatkichga ega va bitta hujayradagi o'rtacha ko'rsatkich boshqalardan ancha yuqori. Keyin F test statistik ahamiyatga ega ta'sirni aniqlashi mumkin. Ammo o'rtacha qiymat katta bo'lgan katakda dispersiya boshqalarga qaraganda sezilarli darajada katta bo'lsin, deylik. hujayralardagi o'rtacha qiymat va dispersiya bog'liq (o'rtacha qancha yuqori bo'lsa, dispersiya shunchalik katta bo'ladi). Bunday holda, katta o'rtacha ishonchsizdir, chunki u ma'lumotlardagi katta farq tufayli yuzaga kelishi mumkin. Biroq F statistik ma'lumotlarga asoslanadi birlashgan hujayra ichidagi dispersiya katta o'rtacha qiymatni oladi, ammo har bir hujayra ichidagi dispersiyaga asoslangan testlar barcha farqlarni muhim deb hisoblamaydi.

Ushbu turdagi ma'lumotlar (katta o'rtacha va katta dispersiya) ko'pincha tashqi kuzatuvlar mavjud bo'lganda paydo bo'ladi. Bir yoki ikkita haddan tashqari kuzatuvlar o'rtacha qiymatni sezilarli darajada o'zgartiradi va dispersiyani sezilarli darajada oshiradi.

Dispersiya va kovariatsiyaning bir xilligi

Taxminlar. Ko'p o'zgaruvchanlikka bog'liq bo'lgan ko'p o'lchovli dizaynlar, shuningdek, yuqorida tavsiflangan dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminni qo'llaydi. Biroq, ko'p o'zgaruvchan qaram o'zgaruvchilar mavjud bo'lganligi sababli, ularning o'zaro bog'liqliklari (kovarianslari) dizaynning barcha hujayralarida bir xil bo'lishi kerak. Modul Dispersiyani tahlil qilish ushbu taxminlarni sinab ko'rishning turli usullarini taklif qiladi.

Buzilish oqibatlari. Ko'p o'lchovli analog F- mezon - Uilksning l-testi. Yuqoridagi taxminlarning buzilishiga nisbatan Wilks l testining mustahkamligi haqida ko'p narsa ma'lum emas. Biroq, modul natijalari talqini beri Dispersiyani tahlil qilish odatda bir o'zgaruvchan ta'sirlarning ahamiyatiga asoslanadi (umumiy mezonning ahamiyatini o'rnatgandan so'ng), mustahkamlik muhokamasi asosan dispersiyaning bir o'zgaruvchan tahliliga tegishli. Shuning uchun bir o'zgaruvchan ta'sirning ahamiyatini diqqat bilan o'rganish kerak.

Maxsus holat: kovariatsiya tahlili. Dizaynga kovariatsiyalar kiritilganda, ayniqsa, dispersiya/kovariatsiya bir xilligining jiddiy buzilishi sodir bo'lishi mumkin. Xususan, agar kovariatsiyalar va qaram o'lchovlar o'rtasidagi bog'liqlik dizayndagi hujayralar bo'ylab farq qilsa, natijalar noto'g'ri talqin qilinishi mumkin. Esda tutingki, kovariatsiyani tahlil qilish, asosan, kovariatsiya hisoblangan dispersiya qismini ajratish uchun har bir hujayra ichida regressiya tahlilini amalga oshiradi. Dispersiya/kovariatsiya taxminining bir xilligi bu regressiya tahlili quyidagi cheklov ostida o‘tkazilishini nazarda tutadi: barcha hujayralar uchun barcha regressiya tenglamalari (qiyaliklari) bir xil. Agar bu qabul qilinmasa, katta xatolar paydo bo'lishi mumkin. Modul Dispersiyani tahlil qilish bu taxminni tekshirish uchun bir qancha maxsus mezonlarga ega. Turli hujayralar uchun regressiya tenglamalari taxminan bir xil bo'lishini ta'minlash uchun ushbu mezonlardan foydalanish tavsiya etiladi.

Sferiklik va murakkab simmetriya: dispersiyani tahlil qilishda takroriy o'lchovlarga ko'p o'lchovli yondashuvdan foydalanish sabablari

Ikki darajadan ortiq takroriy o'lchov omillarini o'z ichiga olgan dizaynlarda bir o'zgaruvchan ANOVA dan foydalanish qo'shimcha taxminlarni talab qiladi: murakkab simmetriya taxmini va sferiklik taxmini. Bu taxminlar kamdan-kam uchraydi (pastga qarang). Shu sababli, so'nggi yillarda bunday dizaynlarda dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili mashhurlikka erishdi (har ikkala yondashuv ham modulda birlashtirilgan. Dispersiyani tahlil qilish).

Murakkab simmetriyani qabul qilish Murakkab simmetriyaning taxmini shundan iboratki, turli xil takroriy o'lchovlar uchun dispersiya (guruhlar ichida taqsimlangan) va kovariatsiyalar (guruhlarda taqsimlangan) bir hil (bir xil). Bu takroriy o'lchovlar uchun bir o'zgaruvchan F testining haqiqiy bo'lishi uchun etarli shartdir (ya'ni, xabar qilingan F qiymatlari o'rtacha F taqsimotiga mos keladi). Biroq, bu holda bu shart shart emas.

Sferiklik farazi. Sferiklik taxmini F-testining haqiqiy bo'lishi uchun zarur va etarli shartdir. Bu guruhlar ichida barcha kuzatishlar mustaqil va teng taqsimlanganligidan iborat. Ushbu taxminlarning tabiati va ularni buzish ta'siri odatda ANOVA bo'yicha kitoblarda yaxshi tasvirlanmagan - bular keyingi paragraflarda yoritiladi. Shuningdek, bir o'zgaruvchan yondashuv natijalari ko'p o'lchovli yondashuv natijalaridan farq qilishi mumkinligi ko'rsatiladi va bu nimani anglatishi tushuntiriladi.

Gipotezalarning mustaqilligi zarurati. ANOVA-da ma'lumotlarni tahlil qilishning umumiy usuli modelni o'rnatish. Agar ma'lumotlarga mos keladigan modelga nisbatan, ba'zilari mavjud a priori gipotezalar, keyin dispersiya bu gipotezalarni tekshirish uchun bo'linadi (asosiy ta'sir mezonlari, o'zaro ta'sirlar). Hisoblash nuqtai nazaridan, bu yondashuv kontrastlar to'plamini (reja vositalarini taqqoslash to'plami) hosil qiladi. Biroq, agar qarama-qarshiliklar bir-biridan mustaqil bo'lmasa, dispersiyalarning bo'linishi ma'nosiz bo'ladi. Misol uchun, agar ikkita kontrast bo'lsa A Va B bir xil bo'ladi va dispersiyaning tegishli qismi chiqariladi, keyin bir xil qism ikki marta chiqariladi. Masalan, ikkita gipotezani aniqlash ahmoqlik va ma'nosizdir: "1-hujayradagi o'rtacha ko'rsatkich 2-hujayradagi o'rtacha ko'rsatkichdan yuqori" va "1-hujayradagi o'rtacha ko'rsatkich 2-hujayradagi o'rtacha qiymatdan yuqori". Demak, gipotezalar mustaqil yoki ortogonal bo'lishi kerak.

Takroriy o'lchovlarda mustaqil farazlar. Modulda amalga oshirilgan umumiy algoritm Dispersiyani tahlil qilish, har bir effekt uchun mustaqil (ortogonal) kontrastlarni yaratishga harakat qiladi. Takroriy o'lchovlar omili uchun bu qarama-qarshiliklar ko'plab farazlarni taqdim etadi farqlar ko'rib chiqilayotgan omil darajalari o'rtasida. Biroq, agar bu farqlar guruhlar ichida o'zaro bog'liq bo'lsa, natijada paydo bo'lgan kontrastlar endi mustaqil emas. Misol uchun, bir semestrda talabalar uch marta o'lchanadigan o'qitishda 1 va 2 o'lchovlar orasidagi o'zgarish sub'ektlarning 2 va 3 o'lchovlari o'rtasidagi o'zgarish bilan salbiy bog'liq bo'lishi mumkin. 1 va 2 o'lchovlar orasidagi materialning ko'p qismini o'zlashtirganlar 2 va 3 o'lchovlar o'rtasida o'tgan vaqt davomida kichikroq qismini o'zlashtiradilar. Aslida, ANOVA takroriy o'lchovlar uchun qo'llaniladigan ko'p hollarda, darajalar bo'yicha o'zgarishlar sub'ektlar bo'yicha korrelyatsiya qilinadi deb taxmin qilish mumkin. Biroq, bu sodir bo'lganda, murakkab simmetriya taxmini va sferiklik farazi bajarilmaydi va mustaqil kontrastlarni hisoblab bo'lmaydi.

Huquqbuzarliklarning ta'siri va ularni tuzatish usullari. Murakkab simmetriya yoki sferiklik taxminlari bajarilmasa, ANOVA noto'g'ri natijalar berishi mumkin. Ko'p o'lchovli protseduralar etarlicha ishlab chiqilishidan oldin, ushbu taxminlarning buzilishini qoplash uchun bir nechta taxminlar taklif qilingan. (Qarang, masalan, Greenhouse & Geisser, 1959 va Huynh & Feldt, 1970). Ushbu usullar hali ham keng qo'llaniladi (shuning uchun ular modulda keltirilgan Dispersiyani tahlil qilish).

Takroriy o'lchovlarga dispersiya yondashuvining ko'p o'lchovli tahlili. Umuman olganda, murakkab simmetriya va sferiklik muammolari takroriy o'lchov omillarining (2 dan ortiq darajali) ta'sirini o'rganishga kiritilgan kontrastlar to'plamining bir-biridan mustaqil emasligi bilan bog'liq. Biroq, agar foydalanilsa, ular mustaqil bo'lishi shart emas ko'p o'lchovli ikki yoki undan ortiq takroriy oʻlchov omili kontrastlarining statistik ahamiyatini bir vaqtda tekshirish uchun test. Aynan shuning uchun dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish usullari 2 dan ortiq darajali bir o'zgaruvchan takroriy o'lchov omillarining ahamiyatini tekshirish uchun tobora ko'proq foydalanilmoqda. Ushbu yondashuv keng tarqalgan, chunki u odatda murakkab simmetriya yoki sharsimonlikni talab qilmaydi.

Dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlilidan foydalanish mumkin bo'lmagan holatlar. Dispersiya yondashuvining ko'p o'lchovli tahlilini qo'llash mumkin bo'lmagan misollar (dizaynlar) mavjud. Bu odatda dizayndagi sub'ektlarning kichik soni va takroriy o'lchovlar omilida ko'p darajalar mavjud bo'lgan holatlardir. Keyin ko'p o'lchovli tahlilni o'tkazish uchun juda kam kuzatuvlar bo'lishi mumkin. Masalan, agar 12 ta mavzu bo'lsa, p = 4 takroriy o'lchov omili va har bir omil mavjud k = 3 darajalari. Keyin 4 omilning o'zaro ta'siri "iste'mol qiladi" (k-1) P = 2 4 = 16 erkinlik darajalari. Biroq, faqat 12 ta mavzu mavjud, shuning uchun bu misolda ko'p o'lchovli test o'tkazilmaydi. Modul Dispersiyani tahlil qilish bu kuzatishlarni mustaqil ravishda aniqlaydi va faqat bir o'lchovli mezonlarni hisoblaydi.

Bir va ko'p o'lchovli natijalardagi farqlar. Agar tadqiqot ko'p sonli takroriy o'lchovlarni o'z ichiga olsa, bir o'zgaruvchan takroriy o'lchovlar ANOVA yondashuvi ko'p o'lchovli yondashuv bilan olingan natijalardan juda farq qiladigan natijalarni keltirib chiqaradigan holatlar bo'lishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, tegishli takroriy o'lchovlar darajalari orasidagi farqlar sub'ektlar bo'yicha korrelyatsiya qilinadi. Ba'zan bu haqiqat ba'zi mustaqil manfaatlarga ega.

Dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili va strukturaviy tenglamalarni modellashtirish

So'nggi yillarda tizimli tenglamalarni modellashtirish dispersiyaning ko'p o'lchovli tahliliga alternativa sifatida mashhur bo'ldi (masalan, Bagozzi va Yi, 1989; Bagozzi, Yi va Singx, 1991; Koul, Maksvell, Arvey va Salas, 1993). . Ushbu yondashuv gipotezalarni nafaqat turli guruhlardagi o'rtachalar, balki bog'liq o'zgaruvchilarning korrelyatsiya matritsalari haqida ham sinab ko'rish imkonini beradi. Misol uchun, dispersiya va kovariantlarning bir xilligi haqidagi taxminlarni yumshatish mumkin va har bir guruh uchun modelga xatolik va kovarianslarni aniq kiritish mumkin. Modul STATISTIKAStrukturaviy tenglamalarni modellashtirish (SEPATH) (III jildga qarang) bunday tahlil qilish imkonini beradi.

1. Faktorli tahlil tushunchasi, turlari va vazifalari.

2. Deterministik tahlilda omillar ta'sirini o'lchash usullari.

Har bir ishlash ko'rsatkichi ko'p va xilma-xil omillarga bog'liq. Faktorlarning samaradorlik ko'rsatkichi qiymatiga ta'siri qanchalik batafsil o'rganilsa, korxonalar ishining sifatini tahlil qilish va baholash natijalari shunchalik aniq bo'ladi. Demak, tadqiq etilayotgan iqtisodiy ko’rsatkichlar qiymatiga omillarning ta’sirini o’rganish va o’lchash tahlilda muhim uslubiy masala hisoblanadi.

ostida omil tahlili (diagnostika) omillarning samaradorlik ko‘rsatkichlari qiymatiga ta’sirini tizimli o‘rganish va o‘lchash metodologiyasini tushunadi.

Quyidagilar ajralib turadi: omilli tahlil turlari:

Deterministik (funktsional) va stokastik (korrelyatsiya);

To'g'ridan-to'g'ri (deduktiv) va teskari (induktiv);

Bir bosqichli va ko'p bosqichli;

Statik va dinamik;

Retrospektiv va istiqbolli (prognoz).

Deterministik omil tahlili samaradorlik ko'rsatkichi bilan aloqasi funktsional xususiyatga ega bo'lgan omillar ta'sirini o'rganish metodologiyasi, ya'ni. samarali ko'rsatkich ko'paytma, qism yoki omillarning algebraik yig'indisi sifatida taqdim etilishi mumkin.

Stokastik omillar tahlili samarali ko'rsatkich bilan bog'liqligi funktsional ko'rsatkichdan farqli o'laroq, to'liq bo'lmagan, ehtimollik (korrelyatsiya) bo'lgan omillar ta'sirini o'rganish metodologiyasi. Agar funktsional bog'liqlik bilan, argumentning o'zgarishi bilan, funktsiyaning mos keladigan o'zgarishi har doim sodir bo'lsa, u holda korrelyatsiya aloqasi bilan argumentning o'zgarishi funktsiyaning o'sishining bir nechta qiymatlarini berishi mumkin. bu ko'rsatkichni belgilovchi boshqa omillarning kombinatsiyasi. Masalan, kapital-mehnat nisbatining bir xil darajasidagi mehnat unumdorligi turli korxonalarda har xil bo'lishi mumkin. Bu ushbu ko'rsatkichga ta'sir qiluvchi boshqa omillarning optimal kombinatsiyasiga bog'liq.

Da bevosita Faktorli tahlilda tadqiqot deduktiv usulda - umumiydan xususiygacha olib boriladi. Orqaga omil tahlili mantiqiy induksiya usulidan foydalangan holda sabab-oqibat munosabatlarini o'rganishni amalga oshiradi - xususiy, individual omillardan umumiy omillargacha.

Faktor tahlili bo'lishi mumkin bir bosqichli va ko'p bosqichli. Birinchi tur faqat bitta darajadagi (bir darajadagi) bo'ysunish omillarini tarkibiy qismlarga bo'linmasdan o'rganish uchun ishlatiladi. Masalan, y = a - b. Ko'p bosqichli omil tahlilida a va b omillar xatti-harakatlarini o'rganish uchun ularning tarkibiy elementlariga batafsil tavsiflanadi. Faktorlar batafsilroq ko'rsatilishi mumkin. Bunda turli darajadagi bo'ysunishdagi omillarning ta'siri o'rganiladi.

Statik Tahlil omillarning tegishli sanadagi samaradorlik ko'rsatkichlariga ta'sirini o'rganish uchun ishlatiladi. Dinamik tahlil qilish - vaqt o'tishi bilan sabab-oqibat munosabatlarini o'rganish usuli.

Retrospektiv omilli tahlil o'tgan davrlarda samaradorlik ko'rsatkichlarining o'zgarishi sabablarini o'rganadi va istiqbolli - omillarning xatti-harakatlarini va kelajakda ishlash ko'rsatkichlarini o'rganadi.

Faktorli tahlilning asosiy vazifalari quyidagilar:

· o‘rganilayotgan samaradorlik ko‘rsatkichlarini belgilovchi omillarni tanlash;

· tizimli yondashish imkoniyatini ta’minlash maqsadida omillarni tasniflash va tizimlashtirish;

· omillar o'rtasidagi bog'liqlik shaklini aniqlash va: samaradorlik ko'rsatkichi;

· samaradorlik va omil ko'rsatkichlari o'rtasidagi munosabatlarni modellashtirish;

· omillar ta'sirini hisoblash va ularning har birining samaradorlik ko'rsatkichi qiymatini o'zgartirishdagi rolini baholash;

· omil modeli bilan ishlash, ya'ni. iqtisodiy jarayonlarni boshqarishda amaliy foydalanish.

Muayyan ko'rsatkichni tahlil qilish uchun omillarni tanlash ushbu sohada olingan nazariy va amaliy bilimlar asosida amalga oshiriladi. Bunday holda, ular odatda dan boshlanadi tamoyili: omillar qanchalik murakkab o'rganilsa, tahlil natijalari shunchalik aniq bo'ladi.

Shu bilan birga, shuni ham yodda tutish kerakki, agar bu omillar majmuasi mexanik yig'indi sifatida, ularning o'zaro ta'sirini hisobga olmasdan, asosiy, aniqlovchilarni aniqlamasdan, xulosalar noto'g'ri bo'lishi mumkin. Iqtisodiy tahlilda samaradorlik ko'rsatkichlari qiymatiga omillarning ta'sirini o'zaro bog'liq holda o'rganish ularni tizimlashtirish orqali amalga oshiriladi.

Deterministik tahlilda Faoliyat ko'rsatkichlarining o'zgarishiga individual omillar ta'sirining kattaligini aniqlash uchun quyidagi usullar qo'llaniladi: zanjir almashtirish, indeks, mutlaq farqlar, nisbiy farqlar, proportsional bo'linish, integral va logarifm.

Eng oddiy deterministik matematik modellar omilli tahlilda keng qo‘llaniladi. Tahlil amaliyotida har xil turdagi va modellar qo'llaniladi.

Qo'shimcha modellar ko'rsatkichlarning algebraik yig'indisini ifodalaydi va quyidagi shaklga ega:

Bunday modellar, masalan, ishlab chiqarish xarajatlari va xarajatlar moddalari elementlariga nisbatan tannarx ko'rsatkichlarini o'z ichiga oladi; ishlab chiqarish hajmining alohida mahsulot ishlab chiqarish hajmi yoki alohida bo'limlarda ishlab chiqarish hajmi bilan bog'liqligi ko'rsatkichi.

Umumlashtirilgan shakldagi multiplikativ modellarni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin.

Multiplikativ modelga misol sifatida ikki omilli savdo hajmi modeli keltirilgan:

bu erda H - xodimlarning o'rtacha soni;

CB - har bir xodimga o'rtacha ishlab chiqarish.

Bir nechta modellar:

Ko'p modelga misol sifatida tovarlarning aylanish davrining ko'rsatkichi (kunlarda) - T OB.T:

bu erda ZT - o'rtacha tovarlar zaxirasi;

YOKI - bir kunlik savdo hajmi.

Aralash modellar yuqoridagi modellarning kombinatsiyasi bo'lib, ularni maxsus iboralar yordamida tavsiflash mumkin:

Bunday modellarga misollar 1 rubl uchun xarajat ko'rsatkichlari. tijorat mahsulotlari, rentabellik ko'rsatkichlari va boshqalar.

Eng ko'p qirrali murakkab deterministik modellar yo'ldir zanjir almashtirish. Uning mohiyati individual omillarning umumiy natijaga ta'sirini izchil hisobga olishdan iborat. Bunday holda, asosiy yoki rejalashtirilgan ko'rsatkichlar ketma-ket haqiqiy ko'rsatkichlar bilan almashtiriladi va almashtirishdan keyin olingan yangi natija oldingi bilan taqqoslanadi.

Umuman olganda, zanjir ishlab chiqarish usulini qo'llash quyidagicha ta'riflanishi mumkin:

bu erda a 0 , b 0 , c 0 - umumiy ko'rsatkich y ga ta'sir qiluvchi omillarning asosiy qiymatlari;

a 1 , b 1 , c 1 - omillarning haqiqiy qiymatlari;

y a, y b - natijada ko'rsatkichning a, b omillarining o'zgarishi bilan bog'liq oraliq o'zgarishlar.

Umumiy o'zgarish ∆u=u 1 –u 0 boshqa omillarning qat'iy qiymatlari bilan har bir omilning o'zgarishi natijasida olingan ko'rsatkichdagi o'zgarishlar yig'indisidan iborat:

Mutlaq farq usuli zanjirni almashtirish usulining modifikatsiyasidir. Farqlar usulidan foydalangan holda har bir omil tufayli samarali ko'rsatkichning o'zgarishi tanlangan almashtirish ketma-ketligiga qarab, boshqa omilning asosiy yoki hisobot qiymati bo'yicha o'rganilayotgan omilning og'ishi mahsuloti sifatida aniqlanadi:

Nisbiy farqlar usuli y = (a - b) x c ko'rinishidagi multiplikativ va aralash modellarda samarali ko'rsatkichning o'sishiga omillar ta'sirini o'lchash uchun ishlatiladi. U manba ma'lumotlarida faktor ko'rsatkichlarining foizlarda oldindan aniqlangan nisbiy og'ishlari mavjud bo'lgan hollarda qo'llaniladi.

y = a x b x c tipidagi multiplikativ modellar uchun tahlil texnikasi quyidagicha:

Har bir omil ko'rsatkichining nisbiy og'ishini toping:

Har bir omil bo'yicha samarali ko'rsatkich y og'ishini aniqlang

Zanjirli almashtirishlar usuli va mutlaq farqlar usuli umumiy kamchilikka ega bo'lib, uning mohiyati oxirgi omil ta'sirining son qiymatiga qo'shiladigan ajralmaydigan qoldiqning paydo bo'lishiga qadar qaynatiladi. Shu munosabat bilan, deterministik modeldagi u yoki bu omillarning joylashishiga qarab, samaradorlik ko'rsatkichining o'zgarishiga omillar ta'sirining kattaligi o'zgaradi.

Ushbu kamchilikdan xalos bo'lish uchun multiplikativ, ko'p va aralash modellarda deterministik omillar tahlili qo'llaniladi. integral usuli. Integral usuldan foydalanish zanjirlarni almashtirish usullari, mutlaq va nisbiy farqlar bilan solishtirganda omillar ta'sirini hisoblash uchun aniqroq natijalarni olish va omillar ta'sirini noaniq baholashdan qochish imkonini beradi, chunki bu holda natijalar aniq emas. omillarning modeldagi joylashuviga bog'liq, lekin omillarning o'zaro ta'siridan hosil bo'ladigan va ular o'rtasida ularning ishlash ko'rsatkichiga izolyatsiya qilingan ta'siriga mutanosib ravishda taqsimlanadigan samarali ko'rsatkichning qo'shimcha o'sishi.

Bir qator hollarda, samaradorlik ko'rsatkichining o'sishiga omillar ta'sirining hajmini aniqlash uchun usuldan foydalanish mumkin. proportsional bo'linish. Masalan, korxona aktivlarining 200 ming rublga ko'payishi hisobiga aktivlarning rentabelligi 5% ga kamaydi. Shu bilan birga, aylanma mablag'larning qiymati 300 ming rublga oshdi, aylanma mablag'lar esa 100 ming rublga kamaydi. Bu shuni anglatadiki, birinchi omil tufayli rentabellik darajasi pasaygan, ikkinchisi tufayli u ko'tarilgan:

∆R asosiy = *300 = -7,5%;

∆R rev = *(-100) = +2,5%.

Indeks usul ma'lum bir hodisa darajasining o'tmishdagi darajasiga yoki asos sifatida olingan shunga o'xshash hodisa darajasiga nisbatini ifodalovchi nisbiy ko'rsatkichlarga asoslanadi. Har qanday indeks hisobot qiymatini asosiy qiymat bilan o'lchash yo'li bilan hisoblanadi.

Indeks usuli yordamida hal qilinadigan klassik muammo bu quyidagi sxema bo'yicha miqdor va narx omillarining sotish hajmiga ta'sirini hisoblashdir:

∑q 1 p 1 - ∑q 0 p 0 = (∑q 1 p 0 - ∑q 0 p 0) + (∑q 1 p 1 - ∑q 1 p 0),

bu yerda ∑q 1 p 0 - ∑q 0 p 0 – miqdorning ta’siri;

∑q 1 p 1 - ∑q 1 p 0 – narxlarning ta’siri.

Keyin tegishli yillardagi narxlarda olingan savdo hajmi (tovar aylanmasi) indeksi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Va jismoniy savdo aylanmasi indeksi:

Logarifm usuli multiplikativ modellarda omillar ta'sirini o'lchash uchun ishlatiladi. Bunday holda, hisoblash natijalari, integratsiya kabi, modeldagi omillarning joylashishiga bog'liq emas va integral usul bilan solishtirganda, yuqori hisoblash aniqligi ta'minlanadi. Agar integratsiya jarayonida omillarning o'zaro ta'siridan qo'shimcha daromad ular o'rtasida teng taqsimlansa, u holda logarifmdan foydalangan holda, omillarning birgalikdagi ta'siri natijasi har bir omilning izolyatsiya qilingan ta'siri darajasidagi ulushga mutanosib ravishda taqsimlanadi. ishlash ko'rsatkichi. Bu uning afzalligi, ammo kamchilik - uni qo'llash doirasining cheklanganligi.